三平方の定理｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 B 図形 (3) 三平方の定理ア (ア)「三平方の定理の意味を理解し，それが証明できることを知ること」。

0. 何を押さえるか

直角三角形の 3 辺の長さの間には、いつでも決まった関係があります。これが三平方の定理です。
直角をはさむ 2 辺を $a, b$ 、斜辺を $c$ とすると、

a^{2} + b^{2} = c^{2}

使い方	式
斜辺を求める	$c = a^{2} + b^{2}$
直角をはさむ辺を求める	$a = c^{2} - b^{2}$
直角三角形かどうかを調べる（逆）	いちばん長い辺を $c$ として $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ か
特別な直角三角形	45°・45°・90° は $1 : 1 : 2$ 、30°・60°・90° は $1 : 2 : 3$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$c$ は斜辺（直角の向かいの辺・いちばん長い辺）。与えられた 2 辺のどちらかが斜辺なら、ひき算になる
30°・60°・90° の比は $1 : 2 : 3$ の順（斜辺が $2$ 。 $3$ は 60° の向かいの辺）
直方体の対角線は 3 辺の 2 乗の和（ $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ ）

1. 三平方の定理

根拠: 学習指導要領中3-B-(3)-ア-(ア)

どの辺が斜辺かを先に確かめてから式を立てます。斜辺は直角の向かいにあり、3 辺の中でいちばん長い辺です。

三平方の定理とは何か？（直角をはさむ 2 辺を $a, b$ 、斜辺を $c$ とする）

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

直角三角形の、直角をはさむ 2 辺の 2 乗の和は、斜辺の 2 乗に等しい。

直角三角形の斜辺とは、どの辺か？

直角の向かい側にある辺（3 辺の中でいちばん長い）

三平方の定理の $c$ はこの辺に決まっている。

直角三角形で、斜辺が 5 cm、他の 1 辺が 3 cm のとき、残りの辺は？

4 cm

$3^{2} + b^{2} = 5^{2}$ より $b^{2} = 16$ 。 $3^{2} + 5^{2}$ とたして $34$ とするのは、5 を斜辺でない辺と取り違えた誤り。

2. 三平方の定理の逆

根拠: 学習指導要領中3-B-(3)-ア-(ア)

3 辺の長さが分かっていれば、角度を測らなくても直角三角形かどうかが分かります。

三平方の定理の逆とは何か？

3 辺が $a, b, c$ の三角形で $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ならば、その三角形は $c$ を斜辺とする直角三角形

辺の長さだけから直角を判定できる。

三平方の定理の逆で直角三角形かどうかを調べるとき、どの辺を $c$ にするか？

いちばん長い辺

斜辺はいちばん長い辺なので、残りの 2 辺の 2 乗の和と、最も長い辺の 2 乗を比べる。

3. 特別な直角三角形

根拠: 学習指導要領中3-B-(3)-ア-(ア)

直角二等辺三角形と、正三角形を半分にした直角三角形は、3 辺の比が決まっています。どちらも三平方の定理から出てきます。

角が 45°・45°・90° の直角三角形の、3 辺の比は？

$1 : 1 : 2$ （斜辺が $2$ ）

直角二等辺三角形。 $1^{2} + 1^{2} = 2$ なので斜辺は $2$ 。正方形の対角線は 1 辺の $2$ 倍。

角が 30°・60°・90° の直角三角形の、3 辺の比は？

$1 : 2 : 3$ （30° の向かいが $1$ 、斜辺が $2$ 、60° の向かいが $3$ ）

正三角形を半分にした形。 $1^{2} + (3)^{2} = 4 = 2^{2}$ 。

1 辺が $a$ の正三角形の高さは？

$\frac{3}{2} a$

正三角形を半分にすると、斜辺 $a$ 、底辺 $\frac{a}{2}$ の 30°・60°・90° の直角三角形になる。

4. 三平方の定理の利用

根拠: 学習指導要領中3-B-(3)-ア-(ア)

求めたい長さを斜辺か、直角をはさむ辺にもつ直角三角形を見つけることが、いつも最初の一歩です。

座標平面上の 2 点 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ の間の距離は？

$(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

横の差と縦の差を直角をはさむ 2 辺とする直角三角形の斜辺。

縦 $a$ 、横 $b$ の長方形の対角線の長さは？

$a^{2} + b^{2}$

対角線で分けた直角三角形の斜辺。

縦 $a$ 、横 $b$ 、高さ $c$ の直方体の対角線の長さは？

$a^{2} + b^{2} + c^{2}$

底面の対角線 $a^{2} + b^{2}$ と高さ $c$ を直角をはさむ 2 辺として、もう一度三平方の定理を使う。

母線の長さ $ℓ$ 、底面の半径 $r$ の円錐の高さは？

$ℓ^{2} - r^{2}$

高さと半径が直角をはさみ、母線が斜辺になる。ひき算になることに注意。

5. 三平方の定理は証明できる

根拠: 学習指導要領中3-B-(3)-ア-(ア)

三平方の定理には多くの証明があります。代表的なのは面積を使う方法で、
1 辺が $a + b$ の正方形の中に、合同な直角三角形 4 つを並べ、まん中にできる正方形の面積を 2 通りに表します（全文は練習問題の問 6）。

面積を使った三平方の定理の証明では、何を 2 通りに表すか？

同じ図形の面積（大きな正方形＝直角三角形 4 つ＋まん中の正方形）

2 通りの式を等しいとおいて整理すると、 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ が出る。

練習問題

問 1　直角をはさむ 2 辺が 2 cm と 3 cm の直角三角形の、斜辺の長さを求めよ。

$13$ cm

方針　直角三角形で 2 辺が分かっているので、三平方の定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を使う。分かっている 2 cm と 3 cm は直角をはさむ 2 辺で、求めるのが斜辺。斜辺は式の右側の $c$ なので、2 乗どうしのたし算になる。

斜辺の長さを $c$ cm として、三平方の定理に当てはめる。 $2^{2} + 3^{2} = c^{2}$
左辺を計算する。 $2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$
だから、 $c^{2} = 13$
$c$ は長さなので正の数。 $c = 13$

ここで間違えやすい　2 乗してからたす。先に $2 + 3 = 5$ とたしてはいけない。また、 $13$ はこれ以上かんたんにならないので、そのまま答える。

問 2　直角三角形で、斜辺が 10 cm、他の 1 辺が 6 cm のとき、残りの辺の長さを求めよ。

8 cm

方針　どれが斜辺かを先に決める。問題文から、斜辺は 10 cm。だから 10 は式の右側の $c$ に入り、6 cm と求める辺が、直角をはさむ 2 辺になる。求めるのが斜辺でないので、ひき算になる。

残りの辺の長さを $b$ cm として、三平方の定理に当てはめる。 $6^{2} + b^{2} = 1 0^{2}$
$6^{2}$ を右辺に移項する。 $b^{2} = 1 0^{2} - 6^{2}$
右辺を計算する。 $1 0^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$
だから、 $b^{2} = 64$
$b$ は長さなので正の数。 $b = 64 = 8$

ここで間違えやすい　 $6^{2} + 1 0^{2} = 136$ とたして、 $136$ としない。これは 10 cm を斜辺でない辺と取りちがえた誤り。答えの 8 cm が斜辺の 10 cm より短いことも確かめる。

問 3　3 辺の長さが 7 cm、24 cm、25 cm の三角形は、直角三角形か。

直角三角形である

方針　3 辺の長さだけから直角三角形かどうかを調べるので、三平方の定理の逆を使う。直角三角形なら、斜辺はいちばん長い辺である。そこで、いちばん長い辺を $c$ として、残りの 2 辺の 2 乗の和と、 $c$ の 2 乗を別々に計算して比べる。

いちばん長い辺は 25 cm。これを斜辺の候補 $c$ とする。
残りの 2 辺の 2 乗の和を計算する。 $7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$
いちばん長い辺の 2 乗を計算する。 $2 5^{2} = 625$
2 つの値が等しいので、 $7^{2} + 2 4^{2} = 2 5^{2}$ が成り立つ。
三平方の定理の逆より、この三角形は 25 cm の辺を斜辺とする直角三角形である。

ここで間違えやすい　いちばん長い辺を、必ず 1 つだけの側（ $c$ ）におく。 $7^{2} + 2 5^{2}$ と $2 4^{2}$ を比べても、等しくならない。

問 4　座標平面上の 2 点 A $(1, 2)$ 、B $(4, 6)$ の間の距離を求めよ。

方針　線分 AB はななめなので、そのままでは長さが分からない。そこで、AB を斜辺とする直角三角形を作る。横の線と縦の線を直角をはさむ 2 辺にすれば、その長さは座標の差で出せる。

点 C $(4, 2)$ をとる。AC は横の線、BC は縦の線なので、∠C = 90°。△ABC は AB を斜辺とする直角三角形になる。
横の辺 AC の長さは、 $x$ 座標の差。 $4 - 1 = 3$
縦の辺 BC の長さは、 $y$ 座標の差。 $6 - 2 = 4$
AB が斜辺なので、三平方の定理より $A B^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
右辺を計算する。 $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$
AB は長さなので正の数。 $A B = 25 = 5$

まとめて書くと、 $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ 。

問 5　縦 3 cm、横 4 cm、高さ 12 cm の直方体の対角線の長さを求めよ。

13 cm

方針　直方体の対角線は、箱の中をななめに通る線である。直角三角形を 2 回使って求める。1 回目は底面の長方形で、底面の対角線を出す。2 回目は、底面の対角線と高さを直角をはさむ 2 辺とする直角三角形で、その斜辺が求める対角線になる。

底面（縦 3 cm、横 4 cm の長方形）に注目する。底面の対角線は、縦と横を直角をはさむ 2 辺とする直角三角形の斜辺。その長さを $d$ cm とすると、 $d^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
右辺を計算する。 $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$
$d$ は正の数なので、 $d = 25 = 5$
次に、底面の対角線（5 cm）と高さ（12 cm）に注目する。高さは底面に垂直なので、この 2 つは直角をはさむ。直方体の対角線が斜辺で、その長さを $ℓ$ cm とすると、 $ℓ^{2} = 5^{2} + 1 2^{2}$
右辺を計算する。 $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169$
$ℓ$ は正の数なので、 $ℓ = 169 = 13$

公式でまとめて計算すると、 $3^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 9 + 16 + 144 = 169 = 13$ 。

問 6　直角をはさむ 2 辺が $a, b$ 、斜辺が $c$ の直角三角形 4 つを、1 辺が $a + b$ の正方形の中に、まん中に 1 辺 $c$ の正方形ができるように並べる。これを使って $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ を証明せよ。

証明の例

方針　同じ図形の面積を、2 通りの方法で表す。1 つは、大きな正方形を「1 辺 $a + b$ の正方形」として丸ごと見る方法。もう 1 つは、「直角三角形 4 つ＋まん中の正方形」と部品に分けて見る方法。どちらも同じ面積なので、等しいとおいて整理する。

丸ごと見る。大きな正方形は 1 辺が $a + b$ なので、面積は $(a + b)^{2}$ 。
部品に分けて見る。直角三角形 1 つの面積は、直角をはさむ 2 辺が $a, b$ なので $\frac{1}{2} ab$ 。4 つ分で $4 \times \frac{1}{2} ab = 2 ab$ 。
まん中の正方形は 1 辺が $c$ なので、面積は $c^{2}$ 。部品を合わせると、大きな正方形の面積は $2 ab + c^{2}$ 。
手順 1 と手順 3 は同じ面積なので、 $(a + b)^{2} = 2 ab + c^{2}$
左辺を展開する。 $a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}$
両辺から $2 ab$ をひく。 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

ここで間違えやすい　 $(a + b)^{2}$ を $a^{2} + b^{2}$ としない。展開で出てくる $2 ab$ が、直角三角形 4 つ分の面積とちょうど打ち消し合う。