円周角の定理

80°

方針　∠APB と ∠AOB は、どちらも同じ弧 AB に対する角である。頂点が円周上にある ∠APB が円周角、頂点が中心にある ∠AOB が中心角。円周角は中心角の半分なので、逆に、中心角は円周角の 2 倍になる。

1. 円周角の定理から、∠APB $=\frac{1}{2}$∠AOB
2. 求めたいのは中心角なので、両辺を 2 倍する。∠AOB は ∠APB の 2 倍。
3. ∠APB は 40° なので、$2\times 40=80$。∠AOB = 80°

ここで間違えやすい　半分にして 20° としない。大きいのは中心角のほうである。

∠ADB = 25°、∠BDC = 70°

方針　同じ弧に対する円周角は等しい。そこで、求めたい角が「どの弧に対する円周角か」を先に読み取り、同じ弧に対する円周角で、大きさが分かっているものを探す。角の名前は、まん中の文字が頂点、両はしの文字が弧の両端を表す。

1. ∠ADB は、頂点が D で、両はしが A と B。だから、弧 AB に対する円周角である。
2. 弧 AB に対する円周角で、大きさが分かっているのは ∠ACB（頂点が C、両はしが A と B）。
3. 4 点は A、B、C、D の順にならんでいるので、C と D はどちらも、A から B までの弧（C、D をふくまないほう）の上にない。同じ弧に対する円周角なので、∠ADB = ∠ACB = 25°
4. ∠BDC は、頂点が D で、両はしが B と C。だから、弧 BC に対する円周角である。
5. 弧 BC に対する円周角で、大きさが分かっているのは ∠BAC（頂点が A、両はしが B と C）。
6. A と D はどちらも、B から C までの弧（A、D をふくまないほう）の上にない。同じ弧に対する円周角なので、∠BDC = ∠BAC = 70°

ここで間違えやすい　角の名前に同じ文字が入っているだけで等しいとしない。両はしの 2 文字（弧の両端）が同じ角どうしを比べる。

62°

方針　AB が直径で、C が円周上の点なので、△ABC の ∠ACB は直径に対する円周角になり、90° と決まる。これで △ABC の角が 2 つ分かるので、残りの ∠ABC は内角の和 180° から求める。

1. △ABC に注目する。∠ACB は直径 AB に対する円周角なので、∠ACB = 90°
2. 三角形の内角の和は 180° なので、∠ABC = 180° − ∠ACB − ∠CAB
3. 角の大きさを当てはめる。∠ABC = 180° − 90° − 28° = 62°

ここで間違えやすい　90° になるのは、円周上の点 C のところの角（∠ACB）。直径の両端 A、B のところの角ではない。

ある

方針　4 つの点が 1 つの円周上にあるかどうかは、円周角の定理の逆で調べる。確かめることは 2 つある。2 つの点が、ある直線について同じ側にあるか。その 2 つの点から同じ線分を見た角が等しいか。

1. ∠BAC と ∠BDC は、どちらも両はしが B と C。つまり、点 A と点 D から、同じ線分 BC を見た角である。
2. 1 つ目の条件を確かめる。問題文から、2 点 A、D は直線 BC について同じ側にある。
3. 2 つ目の条件を確かめる。∠BAC = 40°、∠BDC = 40° なので、∠BAC = ∠BDC
4. 2 つの条件がそろったので、円周角の定理の逆より、4 点 A、B、C、D は 1 つの円周上にある。

ここで間違えやすい　「同じ側にある」の確かめを省かない。A と D が直線 BC の反対側にあるときは、角が等しくても 1 つの円周上にあるとは限らない。

証明の例

方針　円周角と中心角をつなぐ手がかりは、半径である。OA、OB、OP はどれも半径で等しいので、△OAP と △OBP は二等辺三角形になる。P を通る直径 PC を引くと、∠APB も ∠AOB も、直径の左右 2 つに分かれる。片側ずつ「中心の角は、円周上の角の 2 倍」を示して、最後にたす。

1. P を通る直径 PC を引く。
2. 直径の A の側にある △OAP に注目する。OA = OP（半径）なので二等辺三角形で、底角は等しい。∠OAP = ∠OPA
3. ∠AOC は、△OAP の頂点 O のところの外角である。三角形の外角は、それと隣り合わない 2 つの内角の和に等しいので、∠AOC = ∠OAP + ∠OPA
4. 手順 2 より ∠OAP を ∠OPA におきかえると、∠AOC = ∠OPA + ∠OPA = 2∠OPA …①
5. 直径の B の側にある △OBP でも、OB = OP から同じように考えて、∠BOC = 2∠OPB …②
6. ①、②をたすと、∠AOC + ∠BOC = 2（∠OPA + ∠OPB）
7. O が ∠APB の内部にあるので、直径 PC は ∠APB と ∠AOB の中を通る。だから ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC、∠APB = ∠OPA + ∠OPB。
8. 手順 6 の式に当てはめて、∠AOB = 2∠APB、すなわち ∠APB $=\frac{1}{2}$∠AOB。

ここで間違えやすい　手順 7 は、O が ∠APB の内部にあるから言える。O が外部にあるときは、たし算ではなくひき算になる。