連立方程式の解き方｜中学数学

学習指導要領第 2 学年 A 数と式 (2) 連立二元一次方程式ア (ウ)「簡単な連立二元一次方程式を解くこと」。

0. 何を押さえるか

中 1 で、文字が 1 つの一次方程式は解けるようになっています。連立方程式を解く考えは、
2 つの式を組み合わせて文字を 1 つ消し、文字が 1 つの方程式にすることです。これを消去するといいます。

解き方	どう消すか	向いている形
加減法	2 つの式をたすかひく。係数をそろえてから	$2 x + 3 y = 12$ 、 $x - 3 y = - 3$ のように、そろった形
代入法	一方の式を他方に代入する	$y = 2 x - 1$ のように、 $y = \dots$ や $x = \dots$ の形の式がある

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

係数の絶対値がそろったら、符号が同じならひく・違うならたす
代入するときはかっこを付ける（ $3 x + 2 y = 12$ に $y = 2 x - 1$ を入れると $3 x + 2 (2 x - 1) = 12$ ）
片方の文字が求まったら終わりではない（もう一方も求め、答えは組で書く）

1. 加減法

根拠: 学習指導要領中2-A-(2)-ア-(ウ)

$x + y = 5$ と $x - y = 1$ をたすと $2 x = 6$ で $y$ が消え、 $x = 3$ 。これを $x + y = 5$ に入れて $y = 2$ です。
係数がそろっていなければ、一方または両方の式を何倍かしてそろえます。

連立方程式を解く基本の考えは？

文字を 1 つ消去して、文字が 1 つの一次方程式にする

文字が 1 つの方程式なら中 1 の方法で解ける。

加減法とは？

2 つの式の左辺どうし・右辺どうしをたすかひくかして、1 つの文字を消す方法

消したい文字の係数の絶対値を、先にそろえておく。

加減法で、消したい文字の係数の絶対値がそろったとき、たすかひくかの分かれ目は？

符号が同じならひく、違うならたす

$3 y$ と $3 y$ ならひく。 $3 y$ と $- 3 y$ ならたす。

加減法で係数がそろっていないとき、どうするか？

一方または両方の式を何倍かして、消したい文字の係数の絶対値をそろえる

式を何倍かするときは、右辺も同じ数倍する。

2. 代入法

根拠: 学習指導要領中2-A-(2)-ア-(ウ)

$y = 2 x - 1$ と $3 x + 2 y = 12$ なら、下の式の $y$ に $2 x - 1$ を入れて $3 x + 2 (2 x - 1) = 12$ 、つまり $7 x = 14$ で $x = 2$ 、 $y = 3$ です。

代入法とは？

一方の式を $y = \dots$ （または $x = \dots$ ）の形にして、他方の式に代入して文字を消す方法

代入する式にはかっこを付ける。

加減法と代入法、どちらを選ぶかの分かれ目は？

$y = \dots$ や $x = \dots$ の形の式があれば代入法、それ以外は加減法が楽なことが多い

どちらで解いても答えは同じ。計算が短くなるほうを選ぶ。

片方の文字の値が求まったあと、何をするか？

その値をどちらかの式に代入して、もう一方の文字も求める

答えは $x = 3, y = 2$ のように組で書く。最後に両方の式に代入して確かめるとよい。

3. いろいろな連立方程式

根拠: 学習指導要領中2-A-(2)-ア-(ウ)

かっこ・分数・小数をふくむ式は、まず整理してから加減法か代入法を使います。

連立方程式に分数や小数をふくむ式があるとき、最初にすることは？

両辺に同じ数をかけて、係数を整数にする

分数なら分母の最小公倍数、小数なら 10 や 100 をかける。すべての項にかける。

$A = B = C$ の形の方程式は、どう連立方程式に直すか？

$A = B$ 、 $A = C$ 、 $B = C$ のうちの 2 つを組にする

どの 2 つを選んでもよい。 $C$ が数なら $A = C$ 、 $B = C$ が作りやすい。

4. 文章題の立て方と答えの吟味

根拠: 学習指導要領中2-A-(2)-ア-(ウ)

文章題は、何を $x$ 、 $y$ にするか決める → 等しい関係を 2 つ見つけて式にする → 解く → 答えが問題に合うか確かめるの順で進めます。

速さの文章題で、道のりと時間の 2 つの関係を式にするとき、時間はどう表すか？

時間＝道のり ÷ 速さ

時速 4 km で $x$ km 歩くのにかかる時間は $\frac{x}{4}$ 時間。単位（分と時間）をそろえる。

「昨年より 10% 増えた」量を、昨年の量 $x$ で表すと？

$\frac{110}{100} x$ （増えた分だけなら $\frac{10}{100} x$ ）

「増えた分」の式か「今年の量」の式かを取り違えない。

連立方程式を解いた後の答えの吟味とは？

解が問題の条件に合うかを確かめること

人数や個数が負の数や小数になったら、その解は答えにできない（式の立て方を見直す）。

練習問題

問 1　次の連立方程式を解け。　 $2 x + 3 y = 12$ 、 $x - 3 y = - 3$

$x = 3, y = 2$

方針　 $y$ の係数が $3$ と $- 3$ で、絶対値がそろっていて符号がちがう。だから 2 つの式をたせば $y$ が消える。式を何倍かする必要がないので、加減法がいちばん短い。

左辺どうし、右辺どうしをたす。 $(2 x + 3 y) + (x - 3 y) = 12 + (- 3)$
左辺は $3 y$ と $- 3 y$ が消えて $3 x$ 、右辺は $12 - 3 = 9$ なので、 $3 x = 9$
両辺を 3 でわる。 $x = 3$
$x = 3$ を 2 つめの式 $x - 3 y = - 3$ に代入する。 $3 - 3 y = - 3$
3 を右辺へ移項する。 $- 3 - 3 = - 6$ なので、 $- 3 y = - 6$
両辺を $- 3$ でわる。 $y = 2$
確かめる。 $2 \times 3 + 3 \times 2 = 12$ 、 $3 - 3 \times 2 = - 3$ で、両方の式が成り立つ。

ここで間違えやすい　 $x = 3$ が出たところで終わらない。 $y$ も求めて、答えは $x = 3, y = 2$ と組で書く。

問 2　次の連立方程式を解け。　 $3 (x - 1) + y = 8$ 、 $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 2$

$x = 3, y = 2$

方針　かっこや分数があるままでは、たしたりひいたりできない。まず 2 つの式を「かっこなし・係数が整数」の形に整理する。そのあと、 $y$ の係数をそろえて加減法で $y$ を消す。

1 つめの式のかっこをはずす。 $3 (x - 1) = 3 x - 3$ なので、 $3 x - 3 + y = 8$
$- 3$ を右辺へ移項する。 $8 + 3 = 11$ なので、 $3 x + y = 11$ （これを①とする）
2 つめの式は、分母の 3 と 2 の最小公倍数 6 を両辺にかける。 $\frac{x}{3} \times 6 + \frac{y}{2} \times 6 = 2 \times 6$
計算すると、 $2 x + 3 y = 12$ （これを②とする）
$y$ の係数をそろえるために、①の両辺を 3 倍する。 $9 x + 3 y = 33$
$3 y$ どうしで符号が同じなので、ここから②をひく。 $(9 x + 3 y) - (2 x + 3 y) = 33 - 12$
左辺は $7 x$ 、右辺は 21 なので、 $7 x = 21$ 。両辺を 7 でわって、 $x = 3$
$x = 3$ を①に代入する。 $3 \times 3 + y = 11$
9 を移項する。 $11 - 9 = 2$ なので、 $y = 2$

ここで間違えやすい　6 をかけるときは、右辺の 2 にもかける（ $2 \times 6 = 12$ ）。①を 3 倍するときも、右辺の 11 まで 3 倍する。

問 3　次の連立方程式を解け。　 $0.2 x + 0.3 y = 1.3$ 、 $x - y = - 1$

$x = 2, y = 3$

方針　小数のままだと計算しにくいので、1 つめの式を 10 倍して係数を整数にする。2 つめの式は $x$ の係数が 1 で、すぐ $x = \dots$ の形にできるので、代入法で $x$ を消す。

1 つめの式の両辺を 10 倍する。 $0.2 \times 10 = 2$ 、 $0.3 \times 10 = 3$ 、 $1.3 \times 10 = 13$ なので、 $2 x + 3 y = 13$
2 つめの式の $- y$ を右辺へ移項して、 $x = \dots$ の形にする。 $x = y - 1$
これを $2 x + 3 y = 13$ の $x$ に代入する。かっこを付けて、 $2 (y - 1) + 3 y = 13$
かっこをはずす。 $2 y - 2 + 3 y = 13$
同類項をまとめる。 $5 y - 2 = 13$
$- 2$ を移項する。 $13 + 2 = 15$ なので、 $5 y = 15$
両辺を 5 でわる。 $y = 3$
$y = 3$ を $x = y - 1$ に代入する。 $3 - 1 = 2$ なので、 $x = 2$

ここで間違えやすい　10 倍するのは左辺だけではない。右辺の 1.3 も 10 倍して 13 にする。また、代入するときにかっこを付けないと、 $2 y - 1 + 3 y$ となって $- 1$ に 2 がかからない。

問 4　次の方程式を解け。　 $2 x + y = x - y = 6$

$x = 4, y = - 2$

方針　 $A = B = C$ の形は、2 つの式に分けて連立方程式にする。 $C$ が数の 6 なので、「 $A = 6$ 」と「 $B = 6$ 」に分けると、どちらの式も右辺が数だけになって楽。

2 つの式に分ける。 $2 x + y = 6$ と $x - y = 6$
$y$ の係数が $1$ と $- 1$ で、絶対値がそろっていて符号がちがう。だから 2 つの式をたす。 $(2 x + y) + (x - y) = 6 + 6$
左辺は $y$ が消えて $3 x$ 、右辺は 12 なので、 $3 x = 12$
両辺を 3 でわる。 $x = 4$
$x = 4$ を $x - y = 6$ に代入する。 $4 - y = 6$
4 を右辺へ移項する。 $6 - 4 = 2$ なので、 $- y = 2$
両辺に $- 1$ をかける。 $y = - 2$
確かめる。 $2 \times 4 + (- 2) = 6$ 、 $4 - (- 2) = 6$ で、どちらも 6 になる。

ここで間違えやすい　 $- y = 2$ で止めて $y = 2$ としない。左辺が $- y$ なので、符号を変えて $y = - 2$ 。

問 5　家から 12 km 離れた公園まで、はじめは時速 4 km で歩き、途中から時速 8 km で走ったら、全部で 2 時間かかった。歩いた道のりと走った道のりを求めよ。

歩いた道のり 4 km、走った道のり 8 km

方針　求めるものを $x$ 、 $y$ とおき、等しい関係を 2 つ見つける。ここでは「道のりの合計が 12 km」と「時間の合計が 2 時間」。時間は「道のり ÷ 速さ」で表す。

歩いた道のりを $x$ km、走った道のりを $y$ km とする。
道のりの関係を式にする。合わせて 12 km なので、 $x + y = 12$ （これを①とする）
時間を表す。歩いた時間は $\frac{x}{4}$ 時間、走った時間は $\frac{y}{8}$ 時間。
時間の関係を式にする。合わせて 2 時間なので、 $\frac{x}{4} + \frac{y}{8} = 2$ （これを②とする）
②の両辺に 8 をかけて、分母をはらう。 $\frac{x}{4} \times 8 + \frac{y}{8} \times 8 = 2 \times 8$ なので、 $2 x + y = 16$ （これを③とする）
①と③は $y$ の係数がどちらも 1 なので、③から①をひく。 $(2 x + y) - (x + y) = 16 - 12$ なので、 $x = 4$
$x = 4$ を①に代入する。 $4 + y = 12$ なので、 $y = 8$
答えが問題に合うか確かめる。どちらも正の数。時間は $\frac{4}{4} + \frac{8}{8} = 1 + 1 = 2$ で、2 時間になる。

ここで間違えやすい　時間の式を $4 x + 8 y = 2$ としない。 $4 x$ は「速さ × 道のり」で、時間にならない。

問 6　ある部の部員は昨年 300 人だった。今年は昨年と比べて男子が 10% 増え、女子が 5% 減ったので、全体で 6 人増えた。昨年の男子と女子の人数を求めよ。

男子 140 人、女子 160 人

方針　「10% 増えた」「5% 減った」は昨年の人数をもとにした割合なので、昨年の男子と女子を $x$ 、 $y$ とおく。式は「昨年の合計」と「増えた人数・減った人数」の 2 つで立てる。

昨年の男子を $x$ 人、女子を $y$ 人とする。
昨年の合計を式にする。 $x + y = 300$ （これを①とする）
増減を表す。男子が増えた人数は $\frac{10}{100} x$ 人、女子が減った人数は $\frac{5}{100} y$ 人。
全体で 6 人増えたので、増えた人数から減った人数をひくと 6 になる。 $\frac{10}{100} x - \frac{5}{100} y = 6$ （これを②とする）
②の両辺に 20 をかけて、係数を整数にする。 $\frac{10}{100} \times 20 = 2$ 、 $\frac{5}{100} \times 20 = 1$ 、 $6 \times 20 = 120$ なので、 $2 x - y = 120$ （これを③とする）
①と③は $y$ の係数が $1$ と $- 1$ なので、たす。 $(x + y) + (2 x - y) = 300 + 120$ なので、 $3 x = 420$
両辺を 3 でわる。 $x = 140$
$x = 140$ を①に代入する。 $140 + y = 300$ なので、 $y = 160$
確かめる。男子は 140 人の 10% の 14 人が増え、女子は 160 人の 5% の 8 人が減る。今年の男子は $140 + 14 = 154$ 人、女子は $160 - 8 = 152$ 人で、合計は $154 + 152 = 306$ 人。昨年の 300 人より 6 人増えている。

ここで間違えやすい　②の右辺を 306 にしない。②は「増えた分・減った分」の式なので、右辺は増えた 6 人。今年の人数で式を立てるなら、 $\frac{110}{100} x + \frac{95}{100} y = 306$ になる。