連立方程式とその解｜中学数学

学習指導要領第 2 学年 A 数と式 (2) 連立二元一次方程式ア (ア)「二元一次方程式とその解の意味を理解すること」と
(イ)「連立二元一次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること」。

0. 何を押さえるか

中 1 の方程式 $2 x + 1 = 7$ は、文字が $x$ 1 つで、解も $x = 3$ の 1 つでした。
$x + y = 5$ のように文字が 2 つある一次方程式（二元一次方程式）では、 $x = 1, y = 4$ も $x = 2, y = 3$ も成り立ち、解は 1 つに決まりません。
そこでもう 1 つ方程式を組み合わせ、両方を同時に成り立たせる $x$ 、 $y$ の組を探します。これが連立方程式です。

言葉	意味	例
二元一次方程式	文字を 2 つふくむ一次方程式	$x + y = 5$ 、 $2 x - 3 y = 1$
二元一次方程式の解	その式を成り立たせる $x$ 、 $y$ の値の組	$x = 2, y = 3$ は $x + y = 5$ の解の 1 つ
連立方程式	2 つ以上の方程式を組にしたもの	$x + y = 5$ と $x - y = 1$ の組
連立方程式の解	どの方程式も同時に成り立たせる値の組	$x = 3, y = 2$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

二元一次方程式の解は 1 組ではない（ $x + y = 5$ を成り立たせる組はいくらでもある）
解は $x$ と $y$ の組で 1 つ（ $x = 3$ だけ、 $y = 2$ だけでは解ではない）
連立方程式の解は、両方の式に代入して確かめる（片方だけに合う組は解ではない）

1. 二元一次方程式とその解

根拠: 学習指導要領中2-A-(2)-ア-(ア)

二元一次方程式 $x + y = 5$ の解は、 $x$ の値を 1 つ決めるごとに $y$ の値が 1 つ決まるので、組がいくらでもあります。
「 $x$ 、 $y$ は自然数」のように範囲が決められていれば、解の組は限られます。

二元一次方程式とは？

文字を 2 つふくむ一次方程式

「元」は文字（未知数）の種類の数、「次」は次数。 $x + y = 5$ は 2 元・1 次。

二元一次方程式の解とは？

その方程式を成り立たせる $x$ 、 $y$ の値の組

$x = 1, y = 4$ で 1 つの解。 $x$ と $y$ はセットで書く。

二元一次方程式 $x + y = 5$ の解は、いくつあるか？

無数にある（1 つに決まらない）

$x$ に何を入れても、それに合う $y$ が 1 つ決まる。 $x = 0.5, y = 4.5$ も解。

$x$ 、 $y$ がともに自然数のとき、 $x + y = 5$ の解はいくつあるか？

4 組（ $(1, 4)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(3, 2)$ 、 $(4, 1)$ ）

範囲を自然数に限ると有限になる。0 は自然数ではないので $(0, 5)$ は入らない。

2. 連立方程式とその解

根拠: 学習指導要領中2-A-(2)-ア-(イ)

2 つの方程式を組にしたものを連立方程式といい、どちらの方程式も成り立たせる組をその解といいます。
解を求めることを、連立方程式を解くといいます。

連立方程式の解とは？

組にしたどの方程式も同時に成り立たせる $x$ 、 $y$ の値の組

片方の方程式だけを成り立たせる組は、連立方程式の解ではない。

文字が 2 つある問題で、方程式が 2 つ要るのはなぜか？

方程式が 1 つだと解が無数にあって 1 組に決まらないから

2 つの条件を同時に満たす組に絞ることで、ふつうは 1 組に決まる。

$x = 3, y = 2$ が連立方程式 $x + y = 5$ 、 $x - y = 1$ の解であることを確かめるには？

両方の式に代入して、どちらも成り立つか見る

$3 + 2 = 5$ 、 $3 - 2 = 1$ で両方成り立つので解。

$x = 4, y = 1$ は $x + y = 5$ を満たす。これは連立方程式 $x + y = 5$ 、 $x - y = 1$ の解か？

解ではない

$x - y = 4 - 1 = 3$ で、もう一方の $x - y = 1$ を満たさない。

二元一次方程式の解と、連立方程式の解の違いは？

二元一次方程式の解は無数、連立方程式の解は両方に共通する組（ふつう 1 組）

それぞれの二元一次方程式の解の中から、共通するものを選んだのが連立方程式の解。

文章題で連立方程式をつくるとき、方程式はいくつ立てるか？

文字の数と同じ数（2 つの文字なら 2 つ）

問題の中から、数量の関係を 2 つ見つけて、それぞれを式にする。

練習問題

問 1　次のうち、二元一次方程式 $2 x + y = 7$ の解をすべて選べ。
　ア $x = 1, y = 5$ 　イ $x = 2, y = 3$ 　ウ $x = 3, y = 1$ 　エ $x = 0, y = 6$

ア、イ、ウ

方針　解かどうかは、式に代入して成り立つかで決まる。ア〜エの $x$ 、 $y$ を左辺 $2 x + y$ に入れて、右辺の 7 になるかを 1 つずつ見る。

アを代入する。 $2 \times 1 + 5 = 7$ で、7 になる。解である。
イを代入する。 $2 \times 2 + 3 = 7$ で、7 になる。解である。
ウを代入する。 $2 \times 3 + 1 = 7$ で、7 になる。解である。
エを代入する。 $2 \times 0 + 6 = 6$ で、7 にならない。解ではない。
だから、解はア、イ、ウ。

ここで間違えやすい　解は 1 つとは限らない。二元一次方程式を成り立たせる組はいくつもあるので、1 つ見つけても残りを全部確かめる。

問 2　 $x$ 、 $y$ がともに自然数のとき、 $x + 2 y = 9$ の解をすべて求めよ。

$(x, y) = (7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4)$

方針　自然数（1、2、3、…）に限ると、解の組は数えられるだけしかない。 $x$ について解いておき、 $y$ に 1 から順に数を入れて、 $x$ が自然数でなくなったらやめる。

$2 y$ を移項して、 $x$ について解く。 $x = 9 - 2 y$
$y = 1$ のとき、 $x = 9 - 2 \times 1 = 7$
$y = 2$ のとき、 $x = 9 - 2 \times 2 = 5$
$y = 3$ のとき、 $x = 9 - 2 \times 3 = 3$
$y = 4$ のとき、 $x = 9 - 2 \times 4 = 1$
$y = 5$ のとき、 $x = 9 - 2 \times 5 = - 1$ で、自然数でない。 $y$ をこれより大きくしても $x$ は負の数になるので、ここで終わり。
だから、解は $(x, y) = (7, 1), (5, 2), (3, 3), (1, 4)$ の 4 組。

ここで間違えやすい　0 は自然数ではないので、 $y = 0$ のときの $(9, 0)$ は入れない。

問 3　次のうち、連立方程式 $x + y = 6$ 、 $2 x - y = 3$ の解はどれか。
　ア $x = 2, y = 4$ 　イ $x = 3, y = 3$ 　ウ $x = 4, y = 5$

イ

方針　連立方程式の解は、両方の式を同時に成り立たせる組。ア〜ウを 2 つの式 $x + y = 6$ 、 $2 x - y = 3$ の両方に代入して確かめる。

アを 1 つめに代入する。 $2 + 4 = 6$ で成り立つ。
アを 2 つめに代入する。 $2 \times 2 - 4 = 0$ で、3 にならない。アは解ではない。
イを 1 つめに代入する。 $3 + 3 = 6$ で成り立つ。
イを 2 つめに代入する。 $2 \times 3 - 3 = 3$ で成り立つ。両方成り立つので、イは解である。
ウを 1 つめに代入する。 $4 + 5 = 9$ で、6 にならない。ウは解ではない。

ここで間違えやすい　アは 1 つめの式だけには合う。片方に合っただけで解と決めない。

問 4　連立方程式 $a x + y = 7$ 、 $x - b y = 5$ の解が $x = 2, y = - 1$ のとき、 $a$ 、 $b$ の値を求めよ。

$a = 4$ 、 $b = 3$

方針　解は、式に代入すると成り立つ値の組。だから $x = 2$ 、 $y = - 1$ を 2 つの式に代入する。すると 1 つめは $a$ だけ、2 つめは $b$ だけの方程式になり、中 1 の方法で解ける。

1 つめの式 $a x + y = 7$ に代入する。 $a \times 2 + (- 1) = 7$ なので、 $2 a - 1 = 7$
$- 1$ を移項する。 $2 a = 8$
両辺を 2 でわる。 $a = 4$
2 つめの式 $x - b y = 5$ に代入する。 $2 - b \times (- 1) = 5$
$- b \times (- 1)$ は $+ b$ なので、 $2 + b = 5$
2 を移項する。 $5 - 2 = 3$ なので、 $b = 3$

ここで間違えやすい　 $y = - 1$ はかっこを付けて代入する。 $- b y$ は $- b \times (- 1)$ で $+ b$ になる。 $2 - b = 5$ としない。

問 5　1 個 80 円のりんごと 1 個 50 円のみかんを合わせて 10 個買ったら、代金は 620 円だった。りんごを $x$ 個、みかんを $y$ 個として、連立方程式をつくれ（解かなくてよい）。

$x + y = 10$ 、 $80 x + 50 y = 620$

方針　文字が 2 つなので、式も 2 つ要る。問題文から等しい関係を 2 つ見つける。ここでは「個数の合計」と「代金の合計」。

個数の関係を式にする。りんご $x$ 個とみかん $y$ 個で、合わせて 10 個。 $x + y = 10$
それぞれの代金を表す。りんごは 1 個 80 円で $x$ 個なので $80 x$ 円。みかんは 1 個 50 円で $y$ 個なので $50 y$ 円。
代金の関係を式にする。合わせて 620 円なので、 $80 x + 50 y = 620$
確かめる（解くと $x = 4, y = 6$ ）。個数は $4 + 6 = 10$ 、代金は $80 \times 4 + 50 \times 6 = 320 + 300 = 620$ で、どちらも合う。

ここで間違えやすい　個数の式と代金の式を混ぜない。 $80 x + 50 y = 10$ のように、左辺が円で右辺が個、という式にしない。