等式の変形｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 2 学年 A 数と式 (1) 文字を用いた式ア (エ)「目的に応じて，簡単な式を変形すること」。

0. 何を押さえるか

長方形のまわりの長さの公式 $ℓ = 2 (a + b)$ は、 $a$ と $b$ から $ℓ$ を求める形です。
逆に「まわりの長さと横の長さが分かっていて、縦の長さを知りたい」ときは、 $a = \dots$ の形に変形しておくと、数を入れるだけで求められます。
このように、等式をある文字 $=$ …の形に変形することを、その文字について解くといいます。

等式の性質	式で書くと（ $A = B$ のとき）
両辺に同じ数をたしても等しい	$A + C = B + C$
両辺から同じ数をひいても等しい	$A - C = B - C$
両辺に同じ数をかけても等しい	$A C = B C$
両辺を同じ数（0 でない）でわっても等しい	$\frac{A}{C} = \frac{B}{C}$
両辺を入れかえても等しい	$B = A$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

解く文字以外は、数と同じように扱う（ $ℓ = 2 (a + b)$ を $a$ について解くとき、 $b$ と $ℓ$ はただの数）
わるときは両辺の全体をわる（ $2 a + 2 b = ℓ$ を 2 でわると $a + b = \frac{ℓ}{2}$ 。 $ℓ$ だけでなく左辺もすべて）
移項は符号を変える（等式の性質「両辺から同じものをひく」を短く書いたもの）

1. ある文字について解く

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(エ)

方程式を解くときと同じ手順で、解く文字だけを左辺に残します。移項 → 係数でわるが基本の順です。

等式を「 $a$ について解く」とは？

等式を $a = (a$ をふくまない式 $)$ の形に変形すること

右辺に $a$ が残っていたら、まだ解けていない。

ある文字について解くとき、ほかの文字はどう扱うか？

数と同じように扱う

$3 x + y = 7$ を $y$ について解くなら、 $3 x$ を「数の 3 のようなもの」と見て移項する。

$ℓ = 2 (a + b)$ を $a$ について解いた式は？

$a = \frac{ℓ}{2} - b$ （ $a = \frac{ℓ - 2 b}{2}$ でもよい）

両辺を入れかえて $2 (a + b) = ℓ$ 、2 でわって $a + b = \frac{ℓ}{2}$ 、 $b$ を移項。

$2 x + 3 y = 6$ を $y$ について解くときの手順は？

$2 x$ を移項して $3 y = - 2 x + 6$ 、両辺を 3 でわって $y = - \frac{2}{3} x + 2$

移項で符号が変わる。わるときは右辺のすべての項を 3 でわる。

2. 等式の性質を使う

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(エ)

移項は「両辺から同じものをひく（たす）」を省略して書いたものです。
分数をふくむ式は、両辺に同じ数をかけて分母をはらってから解きます。

移項とは、等式のどの性質を使ったものか？

両辺に同じものをたす（ひく） 性質

$x + b = c$ の両辺から $b$ をひくと $x = c - b$ 。見かけ上、 $b$ が符号を変えて右辺へ移る。

$S = \frac{1}{2} ah$ を $h$ について解くとき、最初にすることは？

両辺に 2 をかけて分数をなくす（ $2 S = ah$ ）

そのあと両辺を $a$ でわり、左右を入れかえて $h = \frac{2 S}{a}$ 。

解く途中で $- y = - 3 x + 5$ のように、左辺が $- y$ になった。次にすることは？

両辺に $- 1$ をかける（ $y = 3 x - 5$ ）

右辺のすべての項の符号が変わる。 $- 3 x$ だけ変えて $5$ を変え忘れやすい。

両辺を文字 $a$ でわるとき、気をつけることは？

$a$ が 0 でないこと

0 でわることはできない。図形の辺の長さのように 0 にならない量ならよい。

3. 目的に応じて変形する

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(エ)

同じ公式でも、何を求めたいかで変形する形が変わります。
何度も同じ種類の計算をするときは、先に求めたい文字について解いておくと、数を入れるだけで済みます。

速さの式 $v = \frac{d}{t}$ （ $d$ は道のり、 $t$ は時間）から、道のりを求めたいときの形は？

$d = v t$

両辺に $t$ をかける。時間を求めたいなら、さらに $v$ でわって $t = \frac{d}{v}$ 。

公式をあらかじめ求めたい文字について解いておくと、何がよいか？

値を代入するだけでその文字の値が求まる

同じ種類の計算を何度もするときに、毎回方程式を解かなくて済む。

練習問題

問 1　 $3 x - y = 5$ を $y$ について解け。

$y = 3 x - 5$

方針　 $y$ について解くので、 $y$ だけを左辺に残す。 $x$ は数と同じように扱って移項する。 $y$ の前の $-$ は、最後に両辺に $- 1$ をかけて消す。

$3 x$ を右辺へ移項する。移項すると符号が変わるので、 $- y = - 3 x + 5$
左辺が $- y$ なので、両辺に $- 1$ をかける。右辺はすべての項の符号が変わる。 $y = 3 x - 5$

$- y$ を右辺へ、5 を左辺へ移項して $3 x - 5 = y$ とし、左右を入れかえて $y = 3 x - 5$ としてもよい。

ここで間違えやすい　 $- 1$ をかけるとき、 $- 3 x$ だけ符号を変えて $5$ を変え忘れると、 $y = 3 x + 5$ になってしまう。

問 2　 $V = \frac{1}{3} S h$ を $S$ について解け。

$S = \frac{3 V}{h}$

方針　 $S$ には $\frac{1}{3}$ と $h$ がかけられている。これを 1 つずつ取りのぞいて、 $S$ だけにする。分数があるときは、先に分母をはらう。

両辺に 3 をかけて、分数をなくす。右辺は $\frac{1}{3} S h \times 3 = S h$ なので、 $3 V = S h$
$S$ にかけられている $h$ を取りのぞくために、両辺を $h$ でわる。 $\frac{3 V}{h} = S$
左右を入れかえて、 $S$ を左辺にする。 $S = \frac{3 V}{h}$

問 3　 $m = \frac{a + b}{2}$ を $b$ について解け。

$b = 2 m - a$

方針　 $b$ は分数の分子の中にある。まず両辺に 2 をかけて分母をはらい、そのあと $b$ 以外の $a$ を移項する。

両辺に 2 をかける。右辺は $\frac{a + b}{2} \times 2 = a + b$ なので、 $2 m = a + b$
$b$ が左辺に来るように、左右を入れかえる。 $a + b = 2 m$
$a$ を右辺へ移項する。符号が変わるので、 $b = 2 m - a$

ここで間違えやすい　最初に $a$ だけを移項して $m - a = \frac{b}{2}$ としない。 $a$ は分子の中にあるので、分母をはらうまで外へ出せない。

問 4　まわりの長さが 30 cm の長方形がある。縦の長さを $a$ cm、横の長さを $b$ cm とするとき、 $b$ を $a$ の式で表せ。また、 $a = 6$ のときの $b$ を求めよ。

$b = 15 - a$ 、 $a = 6$ のとき $b = 9$

方針　長方形のまわりの長さは「 $2 \times ($ 縦 $+$ 横 $)$ 」。これを式にして、 $b$ について解く。 $b = \dots$ の形にしておけば、 $a = 6$ を入れるだけで $b$ が求まる。

まわりの長さが 30 cm であることを式にする。 $2 (a + b) = 30$
両辺を 2 でわる。 $a + b = 15$
$a$ を右辺へ移項する。符号が変わるので、 $b = 15 - a$
この式に $a = 6$ を代入する。 $15 - 6 = 9$ なので、 $b = 9$
確かめる。縦 6 cm、横 9 cm のまわりの長さは $2 \times (6 + 9) = 30$ で、問題に合う。

問 5　 $4 x + 2 y = 8$ を $x$ について解け。

$x = 2 - \frac{1}{2} y$ （ $x = \frac{4 - y}{2}$ でもよい）

方針　 $x$ について解くので、 $x$ の項だけを左辺に残す。 $2 y$ を移項してから、 $x$ の係数 4 で両辺をわる。

$2 y$ を右辺へ移項する。符号が変わるので、 $4 x = - 2 y + 8$
両辺を 4 でわる。右辺は項ごとに 4 でわる。 $x = - \frac{2 y}{4} + \frac{8}{4}$
約分する。 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{8}{4} = 2$ なので、 $x = - \frac{1}{2} y + 2$
項の順を入れかえて、 $x = 2 - \frac{1}{2} y$

ここで間違えやすい　4 でわるのは右辺の全部。8 だけをわって $x = - 2 y + 2$ としない。