解の公式｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 A 数と式 (3) 二次方程式ア (ウ)「解の公式を知り，それを用いて二次方程式を解くこと」。

0. 何を押さえるか

$a x^{2} + b x + c = 0$ を、文字のまま平方の形に変形して解くと、どの二次方程式にも使える式が出てきます。これが解の公式です。

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

どの形でも解けますが、いつでもいちばん速いわけではありません。

式の形	まず考える解き方
$a x^{2} = b$ 、 $(x + m)^{2} = n$	平方根の考え
左辺が因数分解できる	因数分解
どちらでもない	解の公式

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$a, b, c$ は符号ごと読む（ $3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ なら $b = - 5$ 、 $- b = 5$ ）
約分は分子の各項すべてを割る（ $\frac{- 2 \pm 2 2}{2}$ は $- 1 \pm 2$ ）
文章題では解を吟味する（長さや個数に合わない解を捨てる）

1. 解の公式

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(ウ)

解の公式は、平方の形に変形する解き方を、文字 $a, b, c$ のまま一度だけやっておいたものです。

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の解の公式は？

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

分母は $2 a$ （ $2$ ではない）。根号の中は $b^{2} - 4 a c$ 。

解の公式は、どうやって導かれるか？

$a x^{2} + b x + c = 0$ を平方の形 $(x + m)^{2} = n$ に変形して解く

両辺を $a$ で割り、定数項を移項し、 $x$ の係数の半分の 2 乗を両辺に加える。

$3 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ で、解の公式の $a, b, c$ はそれぞれいくつか？

$a = 3, b = - 5, c = 1$

符号ごと読む。公式の $- b$ は $- (- 5) = 5$ になる。

2. 公式を使うときの注意

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(ウ)

公式に代入したあと、根号を $a b$ の形に直し、約分できれば約分します。根号の中が平方数になれば、解は有理数になります。

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$ を解の公式で解くと？

$x = - 1 \pm 2$

$\frac{- 2 \pm 8}{2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2}$ 。分子の両方の項を $2$ で割る。

$\frac{- 2 \pm 2 2}{2}$ を約分して $- 2 \pm 2$ としてよいか？

いけない。 $- 1 \pm 2$

分母の $2$ は、分子の $- 2$ と $22$ の両方を割る。一方だけ割るのは誤り。

解の公式で、根号の中 $b^{2} - 4 a c$ が平方数になったら、解はどうなるか？

根号が外れて、有理数の解になる

$2 x^{2} + x - 3 = 0$ なら $\frac{- 1 \pm 25}{4} = \frac{- 1 \pm 5}{4}$ で、 $x = 1, - \frac{3}{2}$ 。この式は因数分解でも解ける。

中学で解の公式を使うとき、根号の中 $b^{2} - 4 a c$ が負になる方程式は扱うか？

扱わない

負の数の平方根は無いので、実数の解をもたない。中学では実数の解をもつ二次方程式だけを扱う（内容の取扱い (2)）。

3. 解き方の使い分け

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(ウ)

解の公式はいつでも使えますが、計算が長くなります。式の形を見て、速い方法を先に試します。

二次方程式の左辺が因数分解できるとき、解の公式と因数分解のどちらを使うのが速いか？

因数分解

どちらでも同じ解になるが、因数分解のほうが計算が短く、誤りにくい。

$x^{2} = 5$ や $(x - 1)^{2} = 3$ の形の二次方程式は、どう解くのが速いか？

平方根の考えで解く

$x = \pm 5$ 、 $x = 1 \pm 3$ 。わざわざ展開して解の公式を使う必要はない。

4. 二次方程式の利用

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(ウ)

文章題では、求めるものを $x$ として二次方程式を作り、解きます。二次方程式の解は 2 つ出ることが多いので、問題の条件に合うかを確かめるところまでが答えです。

二次方程式の文章題で、解の吟味とは何をすることか？

求めた解が問題の条件に合うかを確かめ、合わない解を捨てること

長さ・個数・人数が負になる解、自然数でない解などは答えにしない。

ある正の整数 $x$ について $x^{2} + x - 72 = 0$ が成り立つ。解が $x = 8, - 9$ のとき、答えは？

$x = 8$ だけ

$- 9$ は方程式の解だが、「正の整数」という条件に合わないので捨てる。

練習問題

問 1　 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ を解け。

$x = \frac{- 3 \pm 13}{2}$

方針　まず因数分解できるかを見る。かけて $- 1$ 、たして $3$ になる整数の組はないので、因数分解では解けない。そこで解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ を使う。 $a, b, c$ は符号ごと読む。

係数を読む。 $a = 1, b = 3, c = - 1$
根号の中の $b^{2} - 4 a c$ を先に計算する。 $3^{2} - 4 \times 1 \times (- 1) = 9 + 4$ で、 $13$
分子のはじめは $- b$ なので $- 3$ 。分母は $2 a$ なので $2 \times 1 = 2$
公式に入れて、 $x = \frac{- 3 \pm 13}{2}$

$13$ は平方数で割れないので、 $13$ はこのままでよい。約分もできないので、これが答え。

ここで間違えやすい　 $- 4 \times 1 \times (- 1)$ の符号。負の数どうしをかけるので $+ 4$ になる（ $9 - 4$ にしない）。

問 2　 $2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ を解け。

$x = \frac{5 \pm 17}{4}$

方針　 $x^{2}$ の係数が $1$ でなく、かんたんに因数分解できる形でもないので、解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ を使う。 $b$ が負の数なので、符号に気をつけて代入する。

係数を符号ごと読む。 $a = 2, b = - 5, c = 1$
根号の中の $b^{2} - 4 a c$ を先に計算する。 $(- 5)^{2} - 4 \times 2 \times 1 = 25 - 8$ で、 $17$
分子のはじめは $- b$ 。 $- (- 5) = 5$
分母は $2 a$ 。 $2 \times 2 = 4$
公式に入れて、 $x = \frac{5 \pm 17}{4}$

ここで間違えやすい　 $- b$ を $- 5$ のままにする（正しくは $5$ ）。分母を $2$ にする（正しくは $2 a$ で $4$ ）。

問 3　 $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ を解け。

$x = \frac{1}{3}, - 1$

方針　 $x^{2}$ の係数が $1$ でないので、解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ を使う。根号の中が平方数になったら根号が外れるので、 $+$ のときと $-$ のときに分けて最後まで計算する。

係数を符号ごと読む。 $a = 3, b = 2, c = - 1$
根号の中の $b^{2} - 4 a c$ を先に計算する。 $2^{2} - 4 \times 3 \times (- 1) = 4 + 12$ で、 $16$
分子のはじめは $- b$ なので $- 2$ 。分母は $2 a$ なので $2 \times 3 = 6$ 。公式に入れると、 $x = \frac{- 2 \pm 16}{6}$
$16 = 4$ なので、 $x = \frac{- 2 \pm 4}{6}$
$+$ のとき。 $- 2 + 4 = 2$ なので、 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$-$ のとき。 $- 2 - 4 = - 6$ なので、 $\frac{- 6}{6} = - 1$
解は $x = \frac{1}{3}, - 1$

ここで間違えやすい　 $\frac{- 2 \pm 4}{6}$ のまま答えにする。根号が外れたら、2 つの解をそれぞれ計算して約分する。

問 4　 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ を解け。

$x = 3 \pm 5$

方針　かけて $4$ 、たして $- 6$ になる整数の組はないので、因数分解では解けない。解の公式 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ を使う。出てきた根号は $a b$ の形に直し、約分できるかを見る。

係数を符号ごと読む。 $a = 1, b = - 6, c = 4$
根号の中の $b^{2} - 4 a c$ を先に計算する。 $(- 6)^{2} - 4 \times 1 \times 4 = 36 - 16$ で、 $20$
分子のはじめは $- b$ で $- (- 6) = 6$ 。分母は $2 a$ で $2 \times 1 = 2$ 。公式に入れると、 $x = \frac{6 \pm 20}{2}$
根号を直す。 $20 = 4 \times 5$ で、 $4 = 2^{2}$ なので、 $20 = 25$ 。だから $x = \frac{6 \pm 2 5}{2}$
分子の $6$ と $25$ の両方を、分母の $2$ で割る。 $6 \div 2 = 3$ 、 $25$ は $5$ になる。
解は $x = 3 \pm 5$

確かめ（平方の形に変形する解き方）： $x^{2} - 6 x = - 4$ の両辺に $(- 3)^{2} = 9$ を加えると $(x - 3)^{2} = 5$ 。ここから $x - 3 = \pm 5$ で、同じ $x = 3 \pm 5$ になる。

ここで間違えやすい　約分で $6$ だけを割って $3 \pm 25$ としてしまう。分母の $2$ は、分子の両方の項を割る。

問 5　連続する 2 つの正の整数があり、その積は 72 である。この 2 つの整数を求めよ。

$8$ と $9$

方針　求める数を文字でおいて、方程式を作る。小さいほうを $x$ とすると、連続する整数なので、大きいほうは $x + 1$ 。「積が 72」を式にして解き、最後に「正の整数」という条件に合うかを確かめる。

小さいほうを $x$ とすると、大きいほうは $x + 1$ 。積が $72$ なので、 $x (x + 1) = 72$
左辺を展開する。 $x^{2} + x = 72$
$72$ を移項して、右辺を $0$ にする。 $x^{2} + x - 72 = 0$
因数分解する。かけて $- 72$ 、たして $1$ になる 2 数を探すと、 $9 \times (- 8) = - 72$ 、 $9 + (- 8) = 1$ なので、 $9$ と $- 8$ 。だから $(x + 9) (x - 8) = 0$
$x + 9 = 0$ または $x - 8 = 0$ なので、 $x = - 9, 8$
$x$ は正の整数なので、 $x = - 9$ は問題に合わない。 $x = 8$ は合う。
大きいほうは $8 + 1 = 9$ 。2 つの整数は $8$ と $9$

確かめ： $8 \times 9 = 72$ で、問題に合う。

ここで間違えやすい　 $x (x + 1) = 72$ のまま「 $x = 72$ または $x + 1 = 72$ 」としてしまう。「どちらかが $0$ 」が使えるのは、右辺が $0$ のときだけ。

問 6　縦が横より 3 m 長い長方形の花だんがあり、面積は 40 m² である。横の長さを求めよ。

5 m

方針　求める横の長さを $x$ m とおく。縦は横より 3 m 長いので $x + 3$ m。長方形の面積は「縦 × 横」なので、これが 40 になるという方程式を作って解く。最後に、長さとして合うかを確かめる。

横を $x$ m とすると、縦は $x + 3$ m。面積が $40$ m² なので、 $x (x + 3) = 40$
左辺を展開する。 $x^{2} + 3 x = 40$
$40$ を移項して、右辺を $0$ にする。 $x^{2} + 3 x - 40 = 0$
因数分解する。かけて $- 40$ 、たして $3$ になる 2 数を探すと、 $8 \times (- 5) = - 40$ 、 $8 + (- 5) = 3$ なので、 $8$ と $- 5$ 。だから $(x + 8) (x - 5) = 0$
$x + 8 = 0$ または $x - 5 = 0$ なので、 $x = - 8, 5$
長さは正の数なので、 $x = - 8$ は問題に合わない。 $x = 5$ は合う。
横の長さは 5 m

確かめ：縦は $5 + 3 = 8$ で 8 m。面積は $5 \times 8 = 40$ となり、問題に合う。