二次方程式とその解｜中学数学

学習指導要領第 3 学年 A 数と式 (3) 二次方程式ア (ア)「二次方程式の必要性と意味及びその解の意味を理解すること」と、
(イ)「因数分解したり平方の形に変形したりして二次方程式を解くこと」。

0. 何を押さえるか

移項して整理すると $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の形になる方程式を二次方程式といいます。
一次方程式と違い、解が 2 つあることがふつうです。解き方は式の形で選びます。

式の形	解き方	例
$a x^{2} = b$	平方根の考え	$x^{2} = 5$ なら $x = \pm 5$
$(x + m)^{2} = n$	かっこの中を 1 つの数と見て平方根	$(x - 2)^{2} = 7$ なら $x = 2 \pm 7$
左辺が因数分解できる	$A B = 0$ の性質	$(x - 2) (x - 3) = 0$ なら $x = 2, 3$
それ以外	平方の形に変形する（または解の公式）	$x^{2} + 6 x - 1 = 0$

中学で扱うのは、実数の解をもつ二次方程式です（内容の取扱い (2)）。因数分解や平方の形に変形して解くのは、 $a x^{2} = b$ （ $a, b$ は有理数）と $x^{2} + p x + q = 0$ （ $p, q$ は整数）の形です（同 (3)。 $x^{2}$ の係数が 1 でない式は、解の公式で扱う）。

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$x^{2} = k$ の解は $\pm k$ （負の解を落とさない）
両辺を $x$ で割らない（ $x = 0$ の解が消える）
平方の形にするとき、両辺に加えるのは「 $x$ の係数の半分」の 2 乗

1. 二次方程式と解の意味

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(ア)

方程式を成り立たせる文字の値を解といい、解をすべて求めることを「方程式を解く」といいます。
二次方程式は、解が 2 つあることも、1 つだけのこともあります。

二次方程式とは、どんな方程式か？

移項して整理すると $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の形になる方程式

左辺が $x$ の二次式になる。 $a = 0$ だと一次方程式になってしまう。

二次方程式の解とは何か？また「解く」とは何をすることか？

方程式を成り立たせる $x$ の値。解くとは、その解をすべて求めること

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ は $x = 2$ でも $x = 3$ でも成り立つので、解は $2$ と $3$ の両方。

二次方程式の解は、いくつあるか？（中学で扱う範囲）

2 つのことが多いが、1 つのこともある

$(x - 4)^{2} = 0$ の解は $x = 4$ だけ。中学では実数の解をもつものだけを扱う。

2. 平方根の考えで解く

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(イ)

$x^{2} = k$ は「2 乗して $k$ になる数」、つまり $k$ の平方根を求めることと同じです。 $(x + m)^{2} = n$ も、かっこの中を 1 つのまとまりと見れば同じ形です。

$x^{2} = k$ （ $k > 0$ ）の解は？

$x = \pm k$

$k$ の平方根は正と負の 2 つ。 $x = k$ だけでは半分しか答えていない。

$(x + m)^{2} = n$ （ $n > 0$ ）は、どう解くか？

$x + m = \pm n$ として、 $x = - m \pm n$

かっこの中を 1 つの数と見て平方根をとる。 $(x - 2)^{2} = 7$ なら $x = 2 \pm 7$ 。

3. 因数分解で解く

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(イ)

左辺を因数分解して積の形にできれば、「積が 0 なら、どちらかは 0」という性質で一次方程式 2 つに分けられます。
右辺を 0 にしてから因数分解するのが先です。

因数分解で二次方程式を解くときに使う性質は？

$A B = 0$ ならば、 $A = 0$ または $B = 0$

$(x - 2) (x - 3) = 0$ なら $x - 2 = 0$ または $x - 3 = 0$ で、 $x = 2, 3$ 。

$x^{2} = 3 x$ を解くとき、両辺を $x$ で割ってよいか？

割ってはいけない（ $x = 0$ の解がなくなる）

移項して $x^{2} - 3 x = 0$ 、 $x (x - 3) = 0$ として、 $x = 0, 3$ 。

因数分解で解く前に、必ずしておくことは？

右辺を 0 にする（すべて左辺に移項する）

$(x - 1) (x - 2) = 6$ のように右辺が 0 でないと、 $A B = 0$ の性質は使えない。展開して整理し直す。

4. 平方の形に変形して解く

根拠: 学習指導要領中3-A-(3)-ア-(イ)

因数分解できない式も、左辺を $(x + m)^{2}$ の形に作りかえれば、平方根の考えで解けます。
$x$ の係数が偶数のものを中心に扱います（内容の取扱い (3)）。

$x^{2} + p x = q$ を $(x + m)^{2} = n$ の形にするには、両辺に何を加えるか？

$x$ の係数の半分の 2 乗、 $(\frac{p}{2})^{2}$

$x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (x + \frac{p}{2})^{2}$ となるから。

$x^{2} + 6 x - 1 = 0$ を平方の形に変形して解くと？

$x = - 3 \pm 10$

$x^{2} + 6 x = 1$ 、両辺に $3^{2} = 9$ を加えて $(x + 3)^{2} = 10$ 。

平方の形に変形するとき、定数項はどう扱うか？

先に右辺へ移項しておく

左辺を $x^{2} + p x$ だけにしてから $(\frac{p}{2})^{2}$ を両辺に加える。片方だけに加えると等式が崩れる。

練習問題

問 1　 $2 x^{2} - 18 = 0$ を解け。

$x = \pm 3$

方針　 $x$ の項（一次の項）がなく、 $x^{2}$ と数だけの式。こういうときは「 $x^{2} =$ 数」の形に直して、平方根の考えで解く。

$- 18$ を右辺に移項する。 $2 x^{2} = 18$
両辺を $2$ で割る。 $18 \div 2 = 9$ なので、 $x^{2} = 9$
$x$ は、2 乗して $9$ になる数。 $3^{2} = 9$ 、 $(- 3)^{2} = 9$ なので、 $x = \pm 3$

ここで間違えやすい　 $x = 3$ だけを答える。平方根は正と負の 2 つあるので、 $- 3$ も解になる。

問 2　 $(x + 1)^{2} = 5$ を解け。

$x = - 1 \pm 5$

方針　左辺がはじめから「（　）の 2 乗」の形になっている。展開しないで、かっこの中の $x + 1$ を 1 つの数と見て、平方根の考えで解く。

$x + 1$ は、2 乗して $5$ になる数。 $5$ の平方根は $\pm 5$ なので、 $x + 1 = \pm 5$
$+ 1$ を右辺に移項する。 $x = - 1 \pm 5$
解は $x = - 1 + 5$ と $x = - 1 - 5$ の 2 つ。まとめて $x = - 1 \pm 5$ と書く。

ここで間違えやすい　 $- 1$ と $5$ をまとめようとする。根号の付く数と付かない数は、これ以上まとめられない。

問 3　 $x^{2} + x - 20 = 0$ を解け。

$x = - 5, 4$

方針　右辺が $0$ で、左辺は $x^{2} + p x + q$ の形。まず因数分解できるかを試す。かけて $- 20$ 、たして $1$ になる 2 数が見つかれば、「積が $0$ なら、どちらかが $0$ 」で解ける。

積が $- 20$ （負の数）なので、2 数は正の数と負の数の組になる。
かけて $- 20$ になる組のうち、和が $1$ になるものを探す。 $5 \times (- 4) = - 20$ 、 $5 + (- 4) = 1$ なので、 $5$ と $- 4$
左辺を因数分解する。 $(x + 5) (x - 4) = 0$
積が $0$ なので、 $x + 5 = 0$ または $x - 4 = 0$
それぞれ解いて、 $x = - 5, 4$

ここで間違えやすい　見つけた 2 数の $5$ と $- 4$ を、そのまま解にしてしまう。 $x + 5 = 0$ を解くので、解は符号が逆の $- 5$ と $4$ になる。

問 4　 $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ を解け。

$x = 4$

方針　右辺が $0$ なので、左辺が因数分解できるかを見る。うしろの項は $16 = 4^{2}$ 、真ん中の項は $8 x = 2 \times x \times 4$ なので、 $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ の形になっている。

左辺を因数分解する。 $(x - 4)^{2} = 0$
2 乗して $0$ になる数は $0$ だけなので、 $x - 4 = 0$
$- 4$ を移項して、 $x = 4$

この方程式の解は 1 つだけ。 $(x - 4) (x - 4) = 0$ と見ると、どちらのかっこからも同じ $x = 4$ が出るからである。

問 5　 $x^{2} - 7 x = 0$ を解け。

$x = 0, 7$

方針　数だけの項がなく、どちらの項にも $x$ がある。共通因数の $x$ をくくり出せば積の形になり、「積が $0$ なら、どちらかが $0$ 」で解ける。

共通因数の $x$ をくくり出す。 $x (x - 7) = 0$
積が $0$ なので、 $x = 0$ または $x - 7 = 0$
$x - 7 = 0$ から $x = 7$ 。合わせて、 $x = 0, 7$

ここで間違えやすい　両辺を $x$ で割って $x - 7 = 0$ とし、 $x = 7$ だけを答える。 $x$ で割ると、 $x = 0$ の解がなくなる。

問 6　 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ を、平方の形に変形して解け。

$x = 2 \pm 7$

方針　かけて $- 3$ 、たして $- 4$ になる整数の組はないので、因数分解では解けない。左辺を $(x - 2)^{2}$ の形に作りかえれば、平方根の考えで解ける。そのために、両辺に「 $x$ の係数の半分の 2 乗」を加える。

定数項の $- 3$ を右辺に移項する。 $x^{2} - 4 x = 3$
$x$ の係数は $- 4$ 。その半分は $- 2$ で、2 乗すると $(- 2)^{2} = 4$
この $4$ を両辺に加える。 $x^{2} - 4 x + 4 = 3 + 4$
左辺は $(x - 2)^{2}$ に因数分解でき、右辺は $3 + 4 = 7$ なので、 $(x - 2)^{2} = 7$
$x - 2$ は 2 乗して $7$ になる数なので、 $x - 2 = \pm 7$
$- 2$ を右辺に移項して、 $x = 2 \pm 7$

ここで間違えやすい　 $4$ を左辺だけに加えてしまう。等式なので、必ず両辺に同じ数を加える。