素因数分解｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 A 数と式 (1) 正の数と負の数ア (ア) と、
内容の取扱い (1)「自然数を素数の積として表すこと」。

0. 何を押さえるか

自然数は、かけ算でそれ以上分けられない数（素数）を部品にして組み立てられています。
自然数を素数の積として表すことを素因数分解といい、その表し方は（かける順番をのぞけば）1 通りしかありません。

言葉	意味	例
素数	1 とその数自身のほかに約数がない自然数（1 は除く）	$2, 3, 5, 7, 11, \dots$
素因数	自然数を素数の積で表したときの、1 つ 1 つの素数	$12$ の素因数は $2$ と $3$
素因数分解	自然数を素数の積として表すこと	$12 = 2^{2} \times 3$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

1 は素数ではない
2 は素数（偶数の素数は 2 だけ）
ある自然数の 2 乗になっている数は、素因数分解すると指数がすべて偶数

1. 素数

根拠: 学習指導要領中1-A-(1)-ア-(ア)

約数が 1 とその数自身の 2 つだけの自然数が素数です。
約数が 3 つ以上ある自然数は、素数の積に分けられます。

素数とは、どんな数のことか？

1 とその数自身のほかに約数がない自然数（1 は除く）

言いかえると、約数がちょうど 2 つの自然数。

1 は素数か？

素数ではない

1 の約数は 1 だけで、2 つない。1 を素数に入れると、素因数分解が 1 通りに決まらなくなる。

偶数の中に素数はあるか？

2 だけある

2 の約数は 1 と 2。4 以上の偶数は 2 を約数にもつので素数でない。

20 以下の素数をすべて答えよ。

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ （8 個）

9 と 15 は奇数だが素数でない（ $9 = 3 \times 3$ 、 $15 = 3 \times 5$ ）。

91 は素数か？

素数ではない（ $91 = 7 \times 13$ ）

一の位が 1 で、2・3・5 でわり切れないので素数に見えるが、7 でわり切れる。

2. 素因数分解

根拠: 学習指導要領中1-A-(1)-ア-(ア)

小さい素数から順にわっていき、商が素数になったら終わりです。
同じ素数が何個もかかるときは、指数を使って書きます。

素因数分解とは何か？

自然数を素数の積として表すこと

$60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ 。素数の積として表したとき、それぞれの素数を素因数という。

1 つの自然数の素因数分解は、何通りあるか？

1 通り（かける順番をのぞく）

どの素数から先にわっても、最後に出てくる素数の組は同じになる。

素因数分解は、どんな手順で行うか？

小さい素数から順にわっていき、商が素数になったらやめる

わった素数と最後の商をすべてかけ合わせたものが答え。

$2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ を、指数を使って書くと？

$2^{3} \times 3^{2}$

同じ素数の積は累乗で書く。 $2^{3}$ は 2 を 3 個かけたもの。

3. 素因数分解の利用

根拠: 学習指導要領中1-A-(1)-ア-(ア)

素因数分解すると、その数の約数や、ある数の 2 乗になるかどうかが一目で分かります。

ある自然数の 2 乗になっている数を素因数分解すると、指数にどんな特徴があるか？

どの素数の指数も偶数

$36 = 2^{2} \times 3^{2}$ は $(2 \times 3)^{2}$ と書ける。指数が偶数なら、半分ずつ 2 組に分けられる。

ある自然数に、できるだけ小さい自然数をかけて 2 乗の数にしたい。何をかければよいか？

素因数分解して、指数が奇数の素数を 1 つずつかける

$12 = 2^{2} \times 3$ なら $3$ をかけて $36 = 6^{2}$ 。

自然数 $2^{2} \times 3$ の約数は、素因数分解からどう分かるか？

素因数の一部（または 1）をかけ合わせたものが約数

$1, 2, 3, 2^{2}, 2 \times 3, 2^{2} \times 3$ の 6 個。

練習問題

問 1　84 を素因数分解せよ。

$2^{2} \times 3 \times 7$

方針　小さい素数（2、3、5、7 …）から順にわっていく。わり切れるあいだは同じ素数でわり、商が素数になったらやめる。

84 は偶数なので、2 でわる。 $84 \div 2 = 42$
42 も偶数なので、もう一度 2 でわる。 $42 \div 2 = 21$
21 は 2 でわり切れない。つぎの素数の 3 でわる。 $21 \div 3 = 7$
7 は素数なので、ここでやめる。
わった素数と最後の商を、すべてかけ合わせる。 $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7$
同じ素数の積は指数でまとめる。 $2 \times 2 = 2^{2}$ なので、 $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$

問 2　180 を素因数分解せよ。

$2^{2} \times 3^{2} \times 5$

方針　小さい素数から順にわっていく。180 は 2 でも 5 でもわり切れるが、いちばん小さい 2 から始めると、わり落としがない。

180 は偶数なので、2 でわる。 $180 \div 2 = 90$
90 も偶数なので、もう一度 2 でわる。 $90 \div 2 = 45$
45 は奇数で、2 でわり切れない。つぎの素数の 3 でわる。 $45 \div 3 = 15$
15 も 3 でわり切れる。 $15 \div 3 = 5$
5 は素数なので、ここでやめる。
わった素数と最後の商を、すべてかけ合わせる。 $180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$
同じ素数の積は指数でまとめる。 $180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$

確かめ: $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 36 \times 5 = 180$

問 3　1 から 30 までの自然数のうち、素数はいくつあるか。

10 個

方針　素数は、約数が 1 とその数自身の 2 つだけの数。1 から 30 までの数から、素数でないもの（1 と、2・3・5 の倍数のうち 2・3・5 自身でないもの）を消していき、残った数を数える。

1 は素数でないので消す。
2 は素数。2 以外の偶数（ $4, 6, 8, \dots, 30$ ）は 2 でわり切れるので消す。
3 は素数。残っている 3 の倍数 $9, 15, 21, 27$ を消す。
5 は素数。残っている 5 の倍数 $25$ を消す。
残った数は、 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ 。どれも、1 とその数自身でしかわり切れない。
数えると 10 個。

ここで間違えやすい　1 を素数に数えてしまう。また、 $9$ 、 $15$ 、 $21$ 、 $25$ 、 $27$ は奇数だが素数でない。

問 4　72 にできるだけ小さい自然数をかけて、ある自然数の 2 乗にしたい。どんな数をかければよいか。

方針　ある自然数の 2 乗になっている数は、素因数分解すると指数がすべて偶数になる。72 を素因数分解して、指数が奇数の素数を見つけ、それを 1 つかけて偶数にする。

72 を小さい素数から順にわる。 $72 \div 2 = 36$ 、 $36 \div 2 = 18$ 、 $18 \div 2 = 9$ 、 $9 \div 3 = 3$
かけ合わせて、指数でまとめる。 $72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{3} \times 3^{2}$
指数を見る。2 の指数は 3（奇数）、3 の指数は 2（偶数）。
2 を 1 つかけると、2 の指数が 4 になって偶数になる。 $2^{3} \times 3^{2} \times 2 = 2^{4} \times 3^{2}$
確かめる。 $72 \times 2 = 144$ で、 $144 = 12 \times 12 = 1 2^{2}$

ここで間違えやすい　指数が偶数の 3 までかけてしまう。かけるのは、指数が奇数の素数だけ。

問 5　108 をできるだけ小さい自然数でわって、ある自然数の 2 乗にしたい。どんな数でわればよいか。

方針　2 乗の数は、素因数分解すると指数がすべて偶数になる。108 を素因数分解して、指数が奇数の素数を見つける。今度はわるので、その素数を 1 つ減らして偶数にする。

108 を小さい素数から順にわる。 $108 \div 2 = 54$ 、 $54 \div 2 = 27$ 、 $27 \div 3 = 9$ 、 $9 \div 3 = 3$
かけ合わせて、指数でまとめる。 $108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^{2} \times 3^{3}$
指数を見る。2 の指数は 2（偶数）、3 の指数は 3（奇数）。
3 でわると、3 の指数が 2 になって偶数になる。 $2^{2} \times 3^{3} \div 3 = 2^{2} \times 3^{2}$
確かめる。 $108 \div 3 = 36$ で、 $36 = 6 \times 6 = 6^{2}$

ここで間違えやすい　 $27$ でわっても $108 \div 27 = 4 = 2^{2}$ で 2 乗の数になる。「できるだけ小さい自然数」なので、答えは 3。