文字式の表し方｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 A 数と式 (2) 文字を用いた式ア (ア)「文字を用いることの必要性と意味」と
(イ)「文字を用いた式における乗法と除法の表し方」。

0. 何を押さえるか

「1 本 80 円の鉛筆を何本か買う」ときの代金は、本数によって変わります。
本数を $x$ とすれば、代金はどの本数でも $80 x$ 円という1 つの式で表せます。これが文字を使う必要性です。

文字式には、書き方の決まりがあります。

決まり	例
乗法の記号 $\times$ を省く	$a \times b = ab$
数は文字の前に書く	$a \times 3 = 3 a$
1 は省く（ $- 1$ は $-$ だけ残す）	$1 \times a = a$ 、 $(- 1) \times a = - a$
同じ文字の積は累乗で書く	$a \times a \times a = a^{3}$
除法の記号 $\div$ を使わず分数で書く	$a \div 3 = \frac{a}{3}$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$0.1 a$ の 1 は省かない（省いてよいのは係数がちょうど 1 のときだけ）
$+$ と $-$ は省けない（ $3 a - \frac{b}{2}$ の $-$ は残る）
負の数を代入するときは、かっこをつける

1. 文字を使う必要性

根拠: 学習指導要領中1-A-(2)-ア-(ア)

文字は、いろいろな値をとる数の代わりです。
文字を使えば、数量の関係を、どの値にもあてはまる形で 1 つにまとめて表せます。

数量を表すのに文字を使うと、何ができるようになるか？

いろいろな値をとる数量を、1 つの式でまとめて表せる

1 本 80 円の鉛筆 $x$ 本の代金は $80 x$ 円。1 本でも 10 本でも、この式 1 つで表せる。

代入とは何か？また式の値とは何か？

代入は式の中の文字を数に置きかえること。式の値は代入して計算した結果

$x = 4$ のとき、 $80 x$ の値は $320$ 。

$x = - 3$ のとき、 $x^{2}$ の値は？

$9$

負の数はかっこをつけて代入する。 $(- 3)^{2} = 9$ 。かっこを忘れると $- 3^{2} = - 9$ と誤る。

$x = - 3$ のとき、 $- x$ の値は？

$3$

$- x = (- 1) \times x = (- 1) \times (- 3) = 3$ 。

2. 乗法の表し方

根拠: 学習指導要領中1-A-(2)-ア-(イ)

文字式では、 $\times$ を省いて、数を先に、文字はふつうアルファベット順に書きます。

$b \times a \times 5$ を、文字式の書き方で表すと？

$5 ab$

$\times$ を省き、数を文字の前に書く。文字はふつうアルファベット順にする。

$1 \times x$ と $(- 1) \times x$ を、文字式の書き方で表すと？

$x$ と $- x$

係数の 1 は省く。 $- 1$ のときは $-$ だけを残す。

$0.1 \times a$ を、文字式の書き方で表すと？

$0.1 a$

省いてよいのは係数がちょうど 1 のときだけ。 $0.1 a$ を $0. a$ とは書かない。

$a \times a \times b \times b \times b$ を、文字式の書き方で表すと？

$a^{2} b^{3}$

同じ文字の積は累乗（指数）で書く。

$(x + y) \times 3$ を、文字式の書き方で表すと？

$3 (x + y)$

かっこのついた式も 1 つのまとまりとして扱い、数を前に出す。

3. 除法の表し方

根拠: 学習指導要領中1-A-(2)-ア-(イ)

文字式では $\div$ を使わず、分数の形で書きます。わる数が分母になります。

$a \div b$ を、文字式の書き方で表すと？

$\frac{a}{b}$

$\div$ を使わず、わられる数を分子、わる数を分母にした分数で書く。

$x \div (- 2)$ を、文字式の書き方で表すと？

$- \frac{x}{2}$

負の数でわるときは、 $-$ の符号を分数の前に出す。

$a \times 3 - b \div 2$ を、文字式の書き方で表すと？

$3 a - \frac{b}{2}$

$\times$ と $\div$ は省けるが、 $+$ と $-$ は省けない。

練習問題

問 1　 $x \times y \times (- 5)$ を文字式の書き方で表せ。

$- 5 x y$

方針　文字式の決まりを順にあてはめる。「数は文字の前に書く」「 $\times$ を省く」の 2 つを使う。

数の $- 5$ を、いちばん前に出す。 $(- 5) \times x \times y$
$\times$ を省く。先頭の負の数は、かっこをはずして書く。 $- 5 x y$
文字が $x$ 、 $y$ のアルファベット順になっていることを確かめる。

問 2　 $a \times a \times b \div 4$ を文字式の書き方で表せ。

$\frac{a ^{2} b}{4}$

方針　かけ算の部分と、わり算の部分に分けて考える。同じ文字の積は累乗に、 $\div$ は分数に直す。

同じ文字の積を累乗で書く。 $a \times a$ は $a^{2}$
かけ算の $\times$ を省く。 $a^{2} \times b$ は $a^{2} b$
$\div 4$ は、4 を分母にした分数で書く。 $a^{2} b \div 4$ は $\frac{a ^{2} b}{4}$

問 3　 $(x - y) \div 3$ を文字式の書き方で表せ。

$\frac{x - y}{3}$

方針　 $\div$ は分数で書く。わられるのは「かっこの中の式ぜんぶ」なので、 $x - y$ をまるごと分子にのせる。

わられる式 $(x - y)$ を分子、わる数 $3$ を分母にする。 $\frac{( x - y )}{3}$
分数の線が「ひとまとまり」を表すので、分子のかっこは要らない。はずして $\frac{x - y}{3}$

ここで間違えやすい　 $x - \frac{y}{3}$ と書いてしまう。これは $y$ だけを 3 でわった式で、別のもの。

問 4　 $2 a b^{2}$ を、記号 $\times$ を使って表せ。

$2 \times a \times b \times b$

方針　省かれている $\times$ をもどす。累乗は、同じ文字を何個かけたかを表しているので、その個数だけ書きならべる。

数と文字のあいだ、文字と文字のあいだに $\times$ がかくれている。もどすと、 $2 \times a \times b^{2}$
指数の 2 は $b$ についている。 $b^{2}$ は $b$ を 2 個かけたものなので、 $b \times b$
合わせて $2 \times a \times b \times b$ 。

ここで間違えやすい　 $a$ まで 2 個かけて、 $2 \times a \times a \times b \times b$ としてしまう。 $a b^{2}$ の指数は、すぐ前の $b$ だけにかかる。

問 5　 $x = - 2$ のとき、 $3 x^{2} - 5 x$ の値を求めよ。

$22$

方針　省かれている $\times$ をもどしてから、 $x$ のところに $- 2$ を入れる。負の数は、かならずかっこをつけて代入する。

$\times$ をもどすと、 $3 \times x^{2} - 5 \times x$
$x$ に $(- 2)$ を代入する。 $3 \times (- 2)^{2} - 5 \times (- 2)$
累乗を先に計算する。 $(- 2)^{2} = (- 2) \times (- 2) = 4$
前の項を計算する。 $3 \times 4 = 12$
うしろの項を計算する。負の数どうしの積なので、 $- 5 \times (- 2) = 10$
2 つをたす。 $12 + 10 = 22$

ここで間違えやすい　かっこをつけずに代入して、 $(- 2)^{2}$ を $- 4$ としてしまう。 $(- 2)^{2}$ は $(- 2) \times (- 2)$ で、 $4$ 。

問 6　 $a = 4$ 、 $b = - 3$ のとき、 $\frac{a}{2} - b^{2}$ の値を求めよ。

$- 7$

方針　文字を数におきかえる。 $a$ には $4$ 、 $b$ には $(- 3)$ を入れる。負の数はかっこをつけて代入し、累乗を先に計算してからひく。

代入すると、 $\frac{4}{2} - (- 3)^{2}$
分数を計算する。 $\frac{4}{2} = 4 \div 2 = 2$
累乗を計算する。 $(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$
ひき算をする。 $2 - 9 = - 7$

ここで間違えやすい　式の $-$ と $- 3$ の $-$ を打ち消して、 $+ 9$ にしてしまう。先に $(- 3)^{2} = 9$ を計算し、それをひくので $- 9$ になる。