一次式の計算｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 A 数と式 (2) 文字を用いた式ア (ウ)「簡単な一次式の加法と減法の計算をすること」。

0. 何を押さえるか

式 $3 x - 5$ は、加法だけの式に直すと $3 x + (- 5)$ です。このときの $3 x$ と $- 5$ を項といい、
文字をふくむ項 $3 x$ の数の部分 $3$ を、 $x$ の係数といいます。

言葉	意味	$3 x - 5$ では
項	加法だけの式にしたときの、1 つ 1 つの部分	$3 x$ と $- 5$
係数	文字をふくむ項の、数の部分	$x$ の係数は $3$
一次の項	文字が 1 つだけの項	$3 x$
一次式	一次の項だけ、または一次の項と数の項の和で表される式	$3 x - 5$

計算の基本は 2 つだけです。文字の部分が同じ項はまとめられること、かっこは分配法則ではずすこと。

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

項は符号ごと読む（ $3 x - 5$ の項は $5$ ではなく $- 5$ ）
かっこの前が $-$ なら、かっこの中の各項の符号を全部変える
文字の項と数の項はまとめられない（ $3 x + 2$ はこれ以上簡単にならない）

1. 項と係数

根拠: 学習指導要領中1-A-(2)-ア-(ウ)

項と係数は、符号ごと読むのが決まりです。

項とは何か？

加法だけの式に直したときの、加法の記号で結ばれた 1 つ 1 つ

$2 x - 5 = 2 x + (- 5)$ なので、項は $2 x$ と $- 5$ 。

係数とは何か？

文字をふくむ項の、数の部分

$- 4 a$ の $a$ の係数は $- 4$ 。符号もふくめて係数。

$- x$ の $x$ の係数は？

$- 1$

$- x = (- 1) \times x$ 。1 は書かれていないだけ。

$\frac{x}{3}$ の $x$ の係数は？

$\frac{1}{3}$

$\frac{x}{3} = \frac{1}{3} \times x$ 。

一次式とは、どんな式か？

一次の項だけ、または一次の項と数の項の和で表される式

$2 x$ 、 $3 x - 5$ は一次式。 $x^{2}$ は文字を 2 つかけているので一次の項ではない。

2. 文字の部分が同じ項をまとめる

根拠: 学習指導要領中1-A-(2)-ア-(ウ)

文字の部分が同じ項は、分配法則 $a x + b x = (a + b) x$ を使って、係数どうしを計算してまとめます。

$3 x + 5 x$ はどうまとめるか？その理由は？

$8 x$ （係数どうしをたす）

分配法則 $a x + b x = (a + b) x$ により $(3 + 5) x = 8 x$ 。

$3 x + 2$ は、1 つの項にまとめられるか？

まとめられない

文字の項と数の項は、文字の部分が違うのでまとめられない。 $5 x$ にはならない。

3. かっこのある式・数との乗除

根拠: 学習指導要領中1-A-(2)-ア-(ウ)

一次式どうしの加法・減法は、かっこをはずしてから、文字の項・数の項をそれぞれまとめます。
一次式に数をかけるときは、分配法則でかっこの中のすべての項にかけます。

かっこの前が $-$ のとき、かっこはどうはずすか？

かっこの中の各項の符号をすべて変えてはずす

$- (2 x - 3) = - 2 x + 3$ 。後ろの項の符号を変え忘れやすい。

一次式の減法 $(A) - (B)$ は、どう計算するか？

ひく式の各項の符号を変えて加える

$(4 x - 5) - (x - 3) = 4 x - 5 - x + 3 = 3 x - 2$ 。

$- 2 (x - 4)$ を計算すると？

$- 2 x + 8$

分配法則でかっこの中のすべての項に $- 2$ をかける。 $(- 2) \times (- 4) = 8$ の符号に注意。

一次式を数でわるには、どうするか？

わる数の逆数をかける（または各項をその数でわる）

$(6 x - 9) \div 3 = 2 x - 3$ 。

$\frac{2 x - 1}{3} \times 6$ はどう計算するか？

先に分母の 3 と 6 を約分して $2 (2 x - 1) = 4 x - 2$

分子の式はかっこでくくられたものとして扱う。 $2 x$ だけに 6 をかけてはいけない。

練習問題

問 1　 $5 x - 3 - 2 x + 7$ を計算せよ。

$3 x + 4$

方針　まとめられるのは、文字の部分が同じ項だけ。 $x$ のついた項と、数だけの項に分けて、それぞれ計算する。

項を符号ごと読む。 $5 x$ 、 $- 3$ 、 $- 2 x$ 、 $+ 7$ の 4 つ。
文字の項と数の項を集めて、並べかえる。 $5 x - 2 x - 3 + 7$
文字の項をまとめる。係数を計算すると $5 - 2 = 3$ なので、 $5 x - 2 x = 3 x$
数の項をまとめる。 $- 3 + 7 = 4$
合わせて $3 x + 4$ 。文字の項と数の項はまとめられないので、ここで終わり。

ここで間違えやすい　 $3 x + 4$ を、さらに $7 x$ としてしまう。 $3 x$ と $4$ は文字の部分がちがう。

問 2　 $(4 x - 5) - (x - 3)$ を計算せよ。

$3 x - 2$

方針　かっこをはずしてから、同じ種類の項をまとめる。うしろのかっこは前が $-$ なので、中の項の符号を全部変えてはずす。

前のかっこは、そのままはずす。 $4 x - 5$
うしろのかっこは、各項の符号を変えてはずす。 $- (x - 3) = - x + 3$
つなげると、 $4 x - 5 - x + 3$
文字の項をまとめる。 $4 x - x = 3 x$
数の項をまとめる。 $- 5 + 3 = - 2$
合わせて $3 x - 2$ 。

ここで間違えやすい　 $- (x - 3)$ を $- x - 3$ としてしまう。うしろの $- 3$ の符号も変えて、 $+ 3$ にする。

問 3　 $3 (2 x - 1) - 2 (x - 4)$ を計算せよ。

$4 x + 5$

方針　分配法則で、かっこの外の数を中のすべての項にかける。うしろは「 $- 2$ をかける」と考えると、符号をまちがえにくい。

前のかっこをはずす。 $3 \times 2 x = 6 x$ 、 $3 \times (- 1) = - 3$ なので、 $3 (2 x - 1) = 6 x - 3$
うしろのかっこをはずす。 $(- 2) \times x = - 2 x$ 、 $(- 2) \times (- 4) = 8$ なので、 $- 2 (x - 4) = - 2 x + 8$
つなげると、 $6 x - 3 - 2 x + 8$
文字の項をまとめる。 $6 x - 2 x = 4 x$
数の項をまとめる。 $- 3 + 8 = 5$
合わせて $4 x + 5$ 。

ここで間違えやすい　 $(- 2) \times (- 4)$ を $- 8$ としてしまう。負の数どうしの積は正の数。

問 4　 $(12 x - 8) \div (- 4)$ を計算せよ。

$- 3 x + 2$

方針　式を数でわるときは、かっこの中のすべての項をその数でわる。わり算を逆数のかけ算に直すと、分配法則が使える。

$- 4$ の逆数は $- \frac{1}{4}$ 。わり算をかけ算に直すと、 $(12 x - 8) \times (- \frac{1}{4})$
$12 x$ にかける。 $12 \times (- \frac{1}{4}) = - 3$ なので、 $- 3 x$
$- 8$ にかける。負の数どうしの積なので符号は $+$ で、 $(- 8) \times (- \frac{1}{4}) = 2$
合わせて $- 3 x + 2$ 。

ここで間違えやすい　 $- 8$ のほうの符号を変え忘れて、 $- 3 x - 2$ としてしまう。

問 5　 $\frac{3 x - 2}{4} \times 8$ を計算せよ。

$6 x - 4$

方針　分子の $3 x - 2$ は、かっこがついた 1 つのまとまり。先に分母の 4 と 8 を約分してから、分配法則でかける。

分子にかっこをつけて考える。 $\frac{( 3 x - 2 ) \times 8}{4}$
8 と 4 を約分する。 $8 \div 4 = 2$ なので、 $(3 x - 2) \times 2$
数を前に書くと、 $2 (3 x - 2)$
分配法則でかける。 $2 \times 3 x = 6 x$ 、 $2 \times (- 2) = - 4$
合わせて $6 x - 4$ 。

ここで間違えやすい　 $3 x$ だけに 2 をかけて、 $6 x - 2$ としてしまう。 $- 2$ にもかける。

問 6　 $\frac{1}{2} (4 x - 6) - \frac{1}{3} (9 x + 3)$ を計算せよ。

$- x - 4$

方針　分配法則で、分数をかっこの中のすべての項にかける。 $4$ と $6$ は 2 で、 $9$ と $3$ は 3 でわり切れるので、分数は消える。うしろは「 $- \frac{1}{3}$ をかける」と考える。

前のかっこをはずす。 $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ 、 $\frac{1}{2} \times (- 6) = - 3$ なので、 $2 x - 3$
うしろのかっこをはずす。 $(- \frac{1}{3}) \times 9 = - 3$ 、 $(- \frac{1}{3}) \times 3 = - 1$ なので、 $- 3 x - 1$
つなげると、 $2 x - 3 - 3 x - 1$
文字の項をまとめる。係数を計算すると $2 - 3 = - 1$ なので、 $2 x - 3 x = - x$
数の項をまとめる。 $- 3 - 1 = - 4$
合わせて $- x - 4$ 。

ここで間違えやすい　うしろのかっこの $+ 3$ の符号。 $- \frac{1}{3}$ をかけるので、 $+ 1$ でなく $- 1$ になる。