確率｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 2 学年 D データの活用 (2) 不確定な事象の起こりやすさア (ア)「多数回の試行によって得られる確率と関連付けて，
場合の数を基にして得られる確率の必要性と意味を理解すること」と (イ)「簡単な場合について確率を求めること」。

0. 何を押さえるか

中 1 では、実際に何回も投げて、相対度数から起こりやすさを調べました（多数回の試行による確率）。
中 2 では、どの結果が起こることも同じ程度に期待できるとき、起こりうる場合の数を数えて確率を求めます。

p = \frac{a}{n}

（ $n$ は起こりうるすべての場合の数、 $a$ はそのことがらの起こる場合の数）

ことがら	確率
必ず起こる	1
決して起こらない	0
A が起こる	$p$ （ $0 \leq p \leq 1$ ）
A が起こらない	$1 - p$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

どの場合も同様に確からしくなるように数える（硬貨 2 枚の「表 1 枚・裏 1 枚」は 1 通りではなく 2 通り）
確率 $\frac{1}{6}$ は「6 回に必ず 1 回」ではない。多数回くり返したときの割合の目安
「少なくとも 1 つ」は、起こらない確率を 1 から引く

1. 同様に確からしいと確率の意味

根拠: 学習指導要領中2-D-(2)-ア-(ア)

正しく作られたさいころでは、1〜6 のどの目が出ることも同じ程度に期待できます。
このことを「同様に確からしい」といいます。そうであれば、場合の数の比で確率が求まります。

「同様に確からしい」とはどういうことか？

どの結果が起こることも、同じ程度に期待できること

これが成り立つときだけ、 $p = \frac{a}{n}$ で確率を求めてよい。

場合の数を基にして確率を求める式は？

$p = \frac{a}{n}$

$n$ は起こりうるすべての場合の数、 $a$ はそのことがらが起こる場合の数。

確率 $p$ のとる値の範囲は？

$0 \leq p \leq 1$

必ず起こることがらの確率は 1、決して起こらないことがらの確率は 0。

さいころを 1 回投げて 7 の目が出る確率は？

決して起こらないことがら。 $a = 0$ なので $p = \frac{0}{6} = 0$ 。

さいころで 1 の目が出る確率が $\frac{1}{6}$ であることは、どんな意味か？

何回も投げると、1 の目の出る相対度数が $\frac{1}{6}$ に近づく

6 回投げれば必ず 1 回出る、という意味ではない。

多数回の試行による確率と、場合の数を基にした確率は、どんな関係か？

試行の回数を多くすると、相対度数は場合の数から求めた確率に近づく

だから場合の数から求めた確率を、起こりやすさの目安にできる。

2. 起こらない確率

根拠: 学習指導要領中2-D-(2)-ア-(ア)

「A が起こる」と「A が起こらない」の場合の数を合わせると、すべての場合の数になります。

ことがら A の起こる確率が $p$ のとき、A の起こらない確率は？

$1 - p$

起こる場合の数と起こらない場合の数を足すと $n$ になるから。

「少なくとも 1 回は表が出る」確率を求める近道は？

1 −（1 回も表が出ない確率）

「少なくとも 1 回」の場合は多いので、反対の「1 回も出ない」を数えて引く。

3. 場合の数の数え方

根拠: 学習指導要領中2-D-(2)-ア-(イ)

場合の数は、樹形図や表を使って、もれなく重なりなく数えます。
さいころ 2 個なら 6 × 6 の表、硬貨なら表・裏の枝分かれの樹形図が便利です。

大小 2 個のさいころを投げるとき、目の出方は全部で何通りか？

36 通り（6 × 6）

大小を区別する。(1, 2) と (2, 1) は別の出方。

2 枚の硬貨を投げて、1 枚が表・1 枚が裏になる確率は？

$\frac{1}{2}$

出方は（表, 表）（表, 裏）（裏, 表）（裏, 裏）の 4 通りで、そのうち 2 通り。「表表・表裏・裏裏」の 3 通りとして $\frac{1}{3}$ にしない（3 つは同様に確からしくない）。

くじを「続けて引く（もどさない）」ときと「同時に引く」ときで、数え方はどう違うか？

続けて引くときは順番を区別し、同時に引くときは順番を区別しない（組み合わせを数える）

5 本から 2 本なら、続けて引くと 20 通り、同時に引くと 10 通り。

当たりが 2 本入った 5 本のくじを、A、B の順に 1 本ずつ引く（もどさない）。B が当たる確率は、A が当たる確率と比べてどうか？

等しい（どちらも $\frac{2}{5}$ ）

引く順番で当たりやすさは変わらない。

練習問題

問 1　大小 2 個のさいころを投げるとき、出る目の和が 9 以上になる確率を求めよ。

$\frac{5}{18}$

方針　さいころ 2 個の目の出方は全部で 36 通りで、どれも同様に確からしい。そのうち、和が 9、10、11、12 になる出方を書き出して数える。確率は「あてはまる場合の数 ÷ すべての場合の数」。

すべての出方は、 $6 \times 6 = 36$ 通り。
和が 9 になるのは、（大, 小）が (3, 6)、(4, 5)、(5, 4)、(6, 3) の 4 通り。
和が 10 になるのは、(4, 6)、(5, 5)、(6, 4) の 3 通り。
和が 11 になるのは、(5, 6)、(6, 5) の 2 通り。
和が 12 になるのは、(6, 6) の 1 通り。
合わせると、 $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ 通り。
確率は $\frac{10}{36}$ 。分子と分母を 2 で割って約分すると、 $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

ここで間違えやすい　大小を区別するので、(3, 6) と (6, 3) は別の出方として 2 通りに数える。(5, 5) は 1 通りだけ。

問 2　大小 2 個のさいころを投げるとき、出る目の積が奇数になる確率を求めよ。

$\frac{1}{4}$

方針　かけ算の答えが奇数になるのは、「奇数 × 奇数」のときだけ。片方でも偶数なら、積は偶数になる。だから、両方とも奇数になる出方を数える。

すべての出方は、 $6 \times 6 = 36$ 通り。
大きいさいころが奇数になるのは、1、3、5 の 3 通り。
小さいさいころが奇数になるのも、1、3、5 の 3 通り。
両方とも奇数になる出方は、 $3 \times 3 = 9$ 通り。
確率は $\frac{9}{36}$ 。分子と分母を 9 で割って約分すると、 $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

ここで間違えやすい　「奇数か偶数かの 2 つに 1 つ」と考えて $\frac{1}{2}$ としない。積が偶数になる出方のほうが多い（ $36 - 9 = 27$ 通り）。

問 3　3 枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも 1 枚は表が出る確率を求めよ。

$\frac{7}{8}$

方針　「少なくとも 1 枚は表」には、表が 1 枚・2 枚・3 枚の場合が全部入るので、数えるのが大変。反対の「1 枚も表が出ない（3 枚とも裏）」を数えて、1 から引く。

硬貨 1 枚の出方は表・裏の 2 通り。3 枚では、 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り。
3 枚とも裏になるのは、（裏, 裏, 裏）の 1 通りだけ。その確率は $\frac{1}{8}$
「少なくとも 1 枚は表」は、「3 枚とも裏」が起こらない場合。だから 1 から引く。 $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
直接数えて確かめる。表が 1 枚は 3 通り、表が 2 枚は 3 通り、表が 3 枚は 1 通りで、 $3 + 3 + 1 = 7$ 通り。同じ $\frac{7}{8}$ になる。

ここで間違えやすい　3 枚の硬貨は区別して数える。（表, 裏, 裏）（裏, 表, 裏）（裏, 裏, 表）は別の出方。

問 4　当たりが 2 本入った 5 本のくじから、同時に 2 本引く。少なくとも 1 本当たる確率を求めよ。

$\frac{7}{10}$

方針　同時に引くので、順番は区別せず、2 本の組を数える。「少なくとも 1 本当たる」は、反対の「2 本ともはずれ」を数えて 1 から引くと早い。

くじに番号を付けて区別する。当たりを①②、はずれを③④⑤とする。
2 本の組を、もれなく書き出す。①②、①③、①④、①⑤、②③、②④、②⑤、③④、③⑤、④⑤ の 10 通り。
2 本ともはずれになるのは、③④、③⑤、④⑤ の 3 通り。その確率は $\frac{3}{10}$
「少なくとも 1 本当たる」は、「2 本ともはずれ」が起こらない場合。だから 1 から引く。 $1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$
直接数えて確かめる。当たりが入っている組は、①②、①③、①④、①⑤、②③、②④、②⑤ の 7 通り。同じ $\frac{7}{10}$ になる。

ここで間違えやすい　同時に引くときは、①③ と ③① を別々に数えない。同じ 1 組である。

問 5　1、2、3、4 の数字を書いたカードが 1 枚ずつある。よくきって 1 枚ずつ 2 回続けて引き、1 枚目を十の位、2 枚目を一の位として 2 けたの整数をつくる。この整数が 3 の倍数になる確率を求めよ。

$\frac{1}{3}$

方針　できる整数を樹形図の考えで全部書き出し、その中から 3 の倍数を数える。続けて引く（もどさない）ので、同じ数字は 2 回使えない。

十の位は 4 通り。一の位は、残りの 3 枚から選ぶので 3 通り。できる整数は $4 \times 3 = 12$ 通り。
全部書き出す。12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43。
この中から 3 の倍数を選ぶ。 $12 = 3 \times 4$ 、 $21 = 3 \times 7$ 、 $24 = 3 \times 8$ 、 $42 = 3 \times 14$ の 4 通り。
確率は $\frac{4}{12}$ 。分子と分母を 4 で割って約分すると、 $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

ここで間違えやすい　11、22、33、44 は作れない。1 枚目のカードをもどさないので、同じ数字は 2 回出ない。すべての場合を $4 \times 4 = 16$ 通りとしない。