平方根｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 A 数と式 (1) 正の数の平方根ア (ア)「数の平方根の必要性と意味を理解すること」。

0. 何を押さえるか

面積が 2 cm² の正方形の 1 辺は、何 cm でしょうか。2 乗して 2 になる数は、整数にも分数にもありません。
そこで「2 乗すると 2 になる数」に名前と記号を与えます。これが平方根と根号です。

言葉	意味	例
平方根	2 乗すると $a$ になる数を、 $a$ の平方根という	$9$ の平方根は $3$ と $- 3$
根号	記号（ルート）	$2$ 、 $10$
$a$	$a$ の平方根のうち、正のほう	$9 = 3$
有理数	整数 $m$ と 0 でない整数 $n$ を使って $\frac{m}{n}$ と表せる数	$3$ 、 $- \frac{2}{5}$ 、 $0.25$
無理数	分数の形に表せない数	$2$ 、 $π$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

正の数の平方根は 2 つある（ $\pm$ を落とさない）。ただし $a$ と書けば正のほうだけ
負の数の平方根は無い。2 乗して負になる数は無いから
根号が付いていても無理数とは限らない（ $4 = 2$ は有理数）

1. 平方根の意味

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(ア)

$x^{2} = a$ となる $x$ を、 $a$ の平方根といいます。正の数を 2 乗しても、負の数を 2 乗しても正になるので、
正の数の平方根は正と負の 2 つあり、絶対値は等しくなります。

$a$ の平方根とは、どんな数のことか？

2 乗すると $a$ になる数

$x^{2} = a$ を満たす $x$ 。 $25$ の平方根は $5$ と $- 5$ 。

正の数の平方根は、いくつあるか？

2 つ（正と負。絶対値は等しい）

$5^{2}$ も $(- 5)^{2}$ も $25$ になるから。まとめて $\pm 5$ と書く。

$0$ の平方根は何か？

$0$ だけ（1 つ）

2 乗して 0 になる数は 0 しかない。

$- 4$ の平方根は何か？

無い

正の数も負の数も 2 乗すると正になり、0 は 2 乗しても 0。2 乗して負になる数は無い。

2. 根号 √ の使い方

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(ア)

$a$ が正の数のとき、 $a$ の平方根のうち正のほうを $a$ 、負のほうを $- a$ と書きます。
記号 √ を根号といいます。「 $a$ の平方根」と「 $a$ 」は同じものではありません。

記号 $a$ は、何を表すか？（ $a$ は正の数）

$a$ の平方根のうち、正のほう

負のほうは $- a$ 。2 つまとめて $\pm a$ と書く。

「 $16$ の平方根」と「 $16$ 」は、それぞれ何か？

$16$ の平方根は $\pm 4$ 、 $16$ は $4$

は正のほうだけを表す記号。平方根は 2 つ。

$(a)^{2}$ と $(- a)^{2}$ は、それぞれいくつか？（ $a$ は正の数）

どちらも $a$

$a$ は「2 乗すると $a$ になる数」なので、定義からそのまま決まる。

$(- 3)^{2}$ はいくつか？

$3$ （ $- 3$ ではない）

$(- 3)^{2} = 9$ なので $9 = 3$ 。の値は必ず 0 以上になる。

3. 平方根の大小

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(ア)

正の数どうしでは、2 乗が大きいほうが大きい数です。根号が付いた数と付かない数を比べるときは、両方を 2 乗するか、両方を根号の形に直して比べます。

$a, b$ が正の数のとき、 $a$ と $b$ の大小はどう決まるか？

$a < b$ ならば $a < b$

根号の中が大きいほうが大きい。正の数は 2 乗の大小と元の大小が一致する。

$3$ と $10$ では、どちらが大きいか？

$10$

$3 = 9$ と根号の形に直すと、 $9 < 10$ 。

$- 5$ と $- 2$ では、どちらが大きいか？

$- 2$ （ $- 5 < - 2$ ）

$2 = 4 < 5$ 。負の数は絶対値が大きいほど小さいので、向きが入れかわる。

4. 有理数と無理数

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(ア)

数を分数の形に表せるかどうかで分けます。整数も $\frac{3}{1}$ のように分数で書けるので有理数です。
小数で表すと、有理数は有限小数か循環小数になり、無理数は循環しない無限小数になります。

有理数とは、どんな数か？

整数 $m$ と 0 でない整数 $n$ を使って $\frac{m}{n}$ の形に表せる数

整数も有理数（ $5 = \frac{5}{1}$ ）。

無理数とは、どんな数か？例も 1 つ。

分数の形に表せない数（例: $2$ 、 $π$ ）

小数で表すと、循環しない無限小数になる。

$4$ は、有理数か無理数か？

有理数（ $4 = 2$ ）

根号が付いていても、根号の中が平方数なら根号が外れて有理数になる。

有限小数（ $0.25$ ）と循環小数（ $0.333 \dots$ ）は、有理数か無理数か？

どちらも有理数

$0.25 = \frac{1}{4}$ 、 $0.333 \dots = \frac{1}{3}$ と分数で表せる。

練習問題

問 1　次の数の平方根を答えよ。　(1) $64$ 　(2) $\frac{4}{9}$ 　(3) $0.25$

(1) $\pm 8$ 　(2) $\pm \frac{2}{3}$ 　(3) $\pm 0.5$

方針　平方根は「2 乗するとその数になる数」。正の数の平方根は、正と負の 2 つある。まず 2 乗してその数になる正の数を見つけて、それに $\pm$ を付ける。

(1) $8^{2} = 64$ なので、正のほうは $8$ 。 $(- 8)^{2} = 64$ でもあるので、平方根は $\pm 8$
(2) 分数は、分子と分母を別々に考える。 $2^{2} = 4$ 、 $3^{2} = 9$ なので、 $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ 。平方根は $\pm \frac{2}{3}$
(3) $5^{2} = 25$ をもとに小数で考えると、 $0. 5^{2} = 0.25$ 。平方根は $\pm 0.5$

ここで間違えやすい　負のほうを書き忘れる。また (3) を $\pm 0.05$ としない（ $0.0 5^{2} = 0.0025$ で、 $0.25$ にならない）。

問 2　次の数を、根号を使わずに表せ。　(1) $0.09$ 　(2) $- 121$ 　(3) $(- 6)^{2}$

(1) $0.3$ 　(2) $- 11$ 　(3) $6$

方針　 $a$ は、 $a$ の平方根のうち正のほうだけを表す。根号の中が「何の 2 乗か」を見つければ、根号が外れる。

(1) $0. 3^{2} = 0.09$ なので、 $0.09 = 0.3$
(2) $1 1^{2} = 121$ なので、 $121 = 11$ 。根号の前の $-$ はそのまま残るので、 $- 11$
(3) 先に根号の中を計算する。 $(- 6)^{2} = 36$
(3) の続き。 $6^{2} = 36$ なので、 $36 = 6$

ここで間違えやすい　(3) の答えを $- 6$ にしてしまう。の値は必ず 0 以上になる。

問 3　次の 3 つの数を小さい順に並べよ。　 $4, 15, 17$

$15, 4, 17$

方針　根号の付いた数と付かない数は、そのままでは比べにくい。 $4$ を根号の付いた形に直して、3 つとも根号の中の数で比べる。

$4$ を根号の形に直す。 $4^{2} = 16$ なので、 $4 = 16$
根号の中の数を比べる。 $15 < 16 < 17$
正の数では、根号の中が大きいほど大きいので、 $15 < 16 < 17$
$16$ を $4$ にもどすと、小さい順に $15, 4, 17$

問 4　次の数のうち、無理数をすべて選べ。　 $25, 7, - \frac{3}{5}, 0.12, π, 0.16$

$7, π$

方針　無理数は、分数の形に表せない数。1 つずつ「分数で表せるか」を調べる。根号の付いた数は、見た目で決めずに、根号が外れるかを確かめる。

$25$ ： $5^{2} = 25$ なので $25 = 5$ 。根号が外れて整数になるので、有理数。
$7$ ： $2^{2} = 4$ 、 $3^{2} = 9$ で、 $7$ は何かの整数や分数の 2 乗にならない。根号が外れないので、無理数。
$- \frac{3}{5}$ ：はじめから分数なので、有理数。
$0.12$ ： $0.12 = \frac{12}{100}$ で、約分すると $\frac{3}{25}$ 。分数で表せるので、有理数。
$π$ ： $3.14159 \dots$ と、くり返しのないまま限りなく続く小数。分数で表せないので、無理数。
$0.16$ ： $0. 4^{2} = 0.16$ なので $0.16 = 0.4$ 。根号が外れるので、有理数。
無理数は、 $7$ と $π$ の 2 つ。

ここで間違えやすい　根号が付いているだけで無理数だと決めてしまう。 $25$ や $0.16$ は根号が外れる。

問 5　 $3 < n < 4$ を満たす自然数 $n$ は、いくつあるか。

6 個

方針　 $n$ のままでは、 $n$ がいくつなのかが見えない。 $3$ 、 $n$ 、 $4$ はどれも正の数なので、2 乗しても大小の順は変わらない。3 つとも 2 乗して、根号をなくす。

3 つの数をそれぞれ 2 乗する。 $3^{2} = 9$ 、 $(n)^{2} = n$ 、 $4^{2} = 16$
大小の順はそのままなので、 $9 < n < 16$
$9$ より大きく $16$ より小さい自然数を書き出す。 $n = 10, 11, 12, 13, 14, 15$
数えると、6 個。

ここで間違えやすい　 $9$ と $16$ を数に入れてしまう。 $n = 9$ だと $9 = 3$ で、「 $3$ より大きい」に合わない。 $n = 16$ も同じ理由で入らない。