平方根の計算｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 A 数と式 (1) 正の数の平方根ア (イ)「数の平方根を含む簡単な式の計算をすること」。

0. 何を押さえるか

根号を含む式の計算は、かけ算・わり算は根号の中どうしでできるのに、たし算・ひき算は根号の中どうしでできない、というところが要です。
たし算・ひき算は、文字式の同類項と同じように、根号の中が同じものだけをまとめます。

計算	決まり（ $a, b$ は正の数）	例
乗法	$a \times b = ab$	$2 \times 3 = 6$
除法	$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	$\frac{10}{2} = 5$
根号の外へ出す	$a^{2} b = a b$	$12 = 23$
分母の有理化	分母と分子に同じをかける	$\frac{1}{2} = \frac{2}{2}$
加法・減法	根号の中が同じものだけまとめる	$32 + 52 = 82$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$2 + 3$ は $5$ ではない（これ以上まとめられない）
まとめる前に $a b$ の形に直すと、根号の中がそろうことがある（ $8 + 18$ ）
分母に根号を残さない（有理化してから答える）

1. 乗法と除法

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(イ)

$a \times b$ を 2 乗すると $ab$ になり、しかも正なので、 $ab$ に等しくなります。わり算も同じ考えです。

$a \times b$ は、どう計算できるか？（ $a, b$ は正の数）

$ab$ （根号の中どうしをかける）

$3 \times 5 = 15$ 。

$\frac{a}{b}$ は、どう計算できるか？（ $a, b$ は正の数）

$\frac{a}{b}$ （根号の中どうしを割る）

$12 \div 3 = 4 = 2$ 。

2. $a b$ の形

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(イ)

根号の中に平方数（ $4, 9, 16, \dots$ ）の因数があれば、それを根号の外に出せます。逆に、根号の外の数は 2 乗して中に入れられます。

$a b$ を、根号の中に入れた形に直すとどうなるか？（ $a, b$ は正の数）

$a^{2} b$

外の数は 2 乗してから中に入れる。 $32 = 9 \times 2 = 18$ 。

$12$ を $a b$ の形に直すと？

$23$

$12 = 2^{2} \times 3$ 。根号の中の平方数の因数を外に出す。

$a b$ の形に直すとき、どこまで直せば終わりか？

根号の中ができるだけ小さい自然数になるまで

$72 = 4 \times 18 = 218$ で止めず、 $36 \times 2 = 62$ まで直す。

3. 分母の有理化

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(イ)

分母に根号があると、大きさが見積もりにくく、ほかの項とまとめにくくなります。分母と分子に同じ数をかけても値は変わらないことを使います。

分母の有理化とは何か？

分母に根号を含まない形に変えること

$\frac{1}{2}$ の分母と分子に $2$ をかけて $\frac{2}{2}$ にする。

$\frac{6}{3}$ の分母を有理化すると？

$23$

$\frac{6 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6 3}{3}$ 。最後に約分を忘れない。

4. 加法と減法

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(イ)

$2$ を文字 $x$ のように見ると、 $32 + 52$ は $3 x + 5 x$ と同じ計算です。根号の中が違うものは、同類項でない文字と同じで、まとめられません。

$2 + 3$ は $5$ に等しいか？

等しくない（ $2 + 3$ はこれ以上まとめられない）

およその値でも $1.414 + 1.732$ は $3.146$ ほどで、 $5$ （ $2.236$ ほど）と違う。

根号を含む式の加法・減法で、まとめられるのはどんな項か？

根号の中が同じ数の項だけ

同類項と同じ扱い。 $43 - 3 = 33$ 、 $3 + 5$ はそのまま。

$8 + 18$ は、まとめられるか？

まとめられる。 $52$

先に $a b$ の形に直すと $22 + 32$ となり、根号の中がそろう。

5. 分配法則・乗法公式を使う計算

根拠: 学習指導要領中3-A-(1)-ア-(イ)

根号を含む式も、文字式と同じように分配法則や乗法公式でかっこをはずせます。 $(a)^{2} = a$ が効いて、根号が消える項が出てきます。

$2 (6 + 3)$ を計算すると？

$23 + 32$

分配法則で $12 + 32$ 。 $12 = 23$ と直し、根号の中が違うのでここまで。

$(3 + 1)^{2}$ を計算すると？

$4 + 23$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ で $3 + 23 + 1$ 。 $2 ab$ の項を落とさない。

$(5 + 2) (5 - 2)$ を計算すると？

$3$

和と差の積 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ で $5 - 2$ 。根号がすべて消える。

練習問題

問 1　 $6 \times 15$ を計算せよ。

$310$

方針　根号どうしのかけ算は、根号の中どうしをかけてよい。かける前に素因数分解しておくと、同じ数が 2 つそろうところが見つかり、根号の外に出す数がすぐに分かる。

根号の中を素因数分解する。 $6 = 2 \times 3$ 、 $15 = 3 \times 5$
根号の中どうしをかける。 $6 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5$
$3$ が 2 つあるので、 $3 \times 3 = 3^{2}$ 。2 乗になった $3$ は、根号の外に出せる。 $3^{2} \times 2 \times 5 = 3 2 \times 5$
根号の中に残った数をかける。 $2 \times 5 = 10$ なので、 $310$

別の進め方：先にかけて $90$ としてから、 $90 = 9 \times 10 = 310$ と直してもよい。

問 2　 $48 - 27 + 3$ を計算せよ。

$23$

方針　たし算・ひき算でまとめられるのは、根号の中が同じ数の項だけ。いまは $48$ 、 $27$ 、 $3$ とばらばらなので、まず $a b$ の形に直して、根号の中がそろうかを見る。

$48$ を直す。 $48 = 16 \times 3$ で、 $16 = 4^{2}$ なので、 $48 = 43$
$27$ を直す。 $27 = 9 \times 3$ で、 $9 = 3^{2}$ なので、 $27 = 33$
式を書き直す。 $43 - 33 + 3$
根号の中が全部 $3$ にそろったので、係数だけを計算する。 $3$ の係数は $1$ なので、 $4 - 3 + 1 = 2$
答えは $23$

ここで間違えやすい　根号の中どうしを $48 - 27 + 3$ と計算してしまう。たし算・ひき算は、根号の中どうしではできない。

問 3　 $\frac{10}{5}$ の分母を有理化せよ。

$25$

方針　分母の $5$ に同じ $5$ をかけると $5$ になり、根号が消える。値を変えないように、分子にも同じ $5$ をかける。

分母と分子に $5$ をかける。 $\frac{10}{5} = \frac{10 \times 5}{5 \times 5}$
分母は $5 \times 5 = 5$ なので、 $\frac{10 5}{5}$
$10$ と $5$ を約分する。 $10 \div 5 = 2$ なので、 $25$

ここで間違えやすい　 $\frac{10 5}{5}$ で止めてしまう。約分できるときは、最後まで約分する。

問 4　 $18 + \frac{4}{2}$ を計算せよ。

$52$

方針　このままではたせない。前の項は $a b$ の形に直し、うしろの項は分母を有理化する。根号の中がそろえば、まとめられる。

$18$ を直す。 $18 = 9 \times 2$ で、 $9 = 3^{2}$ なので、 $18 = 32$
うしろの項は、分母と分子に $2$ をかける。 $\frac{4}{2} = \frac{4 \times 2}{2 \times 2}$
分母は $2 \times 2 = 2$ なので、 $\frac{4 2}{2}$
$4$ と $2$ を約分する。 $4 \div 2 = 2$ なので、 $22$
式を書き直す。 $32 + 22$
根号の中が $2$ にそろったので、係数をたす。 $3 + 2 = 5$ なので、 $52$

問 5　 $(7 - 2)^{2}$ を計算せよ。

$11 - 47$

方針　「（ひき算）の 2 乗」の形なので、差の 2 乗の公式 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ を使う。 $a = 7$ 、 $b = 2$ とする。 $(7)^{2} = 7$ となって、根号が消える項が出る。

公式に当てはめる。 $(7 - 2)^{2} = (7)^{2} - 2 \times 7 \times 2 + 2^{2}$
はじめの項は、 $(7)^{2} = 7$
真ん中の項は、数どうしを先にかける。 $2 \times 2 = 4$ なので、 $47$ 。符号は $-$
うしろの項は、 $2^{2} = 4$
3 つを並べる。 $7 - 47 + 4$
根号の付かない数どうしをまとめる。 $7 + 4 = 11$ なので、 $11 - 47$

ここで間違えやすい　真ん中の項を落として $7 - 4$ としてしまう。また、 $11$ と $47$ はこれ以上まとめられない（ $77$ にしない）。

問 6　 $(6 + 2) (6 - 2)$ を計算せよ。

$4$

方針　2 つのかっこは、同じ $6$ と $2$ の「和」と「差」になっている。和と差の積の公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を使うと、どちらも 2 乗になって根号が消える。

公式で $a = 6$ 、 $b = 2$ とする。式は $(6)^{2} - (2)^{2}$ になる。
それぞれ 2 乗する。 $(6)^{2} = 6$ 、 $(2)^{2} = 2$
ひき算をして、 $6 - 2 = 4$

平方根の計算

0. 何を押さえるか

1. 乗法と除法

2. ab​ の形

3. 分母の有理化

4. 加法と減法

5. 分配法則・乗法公式を使う計算

練習問題

2. $a b$ の形