方程式とグラフ｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 2 学年 C 関数 (1) 一次関数ア (ウ)「二元一次方程式を関数を表す式とみること」。

0. 何を押さえるか

二元一次方程式 $a x + b y = c$ は、解が無数にあります。その解 $(x, y)$ を座標とする点を全部集めると、1 本の直線になります。
これを方程式のグラフといいます。 $y$ について解けば一次関数の式になるので、方程式を「関数を表す式」と見ることができます。

方程式	グラフ
$a x + b y = c$ （ $b \neq = 0$ ）	$y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}$ の直線
$y = k$	点 $(0, k)$ を通り、 $x$ 軸に平行な直線
$x = h$	点 $(h, 0)$ を通り、 $y$ 軸に平行な直線

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$y = k$ は $x$ 軸に平行（ $y$ 軸に平行ではない）。 $x = h$ は $y$ 軸に平行
連立方程式の解は、2 直線の交点の座標
2 直線が平行なら、連立方程式の解は無い

1. 二元一次方程式のグラフ

根拠: 学習指導要領中2-C-(1)-ア-(ウ)

$2 x + 3 y = 6$ を $y$ について解くと $y = - \frac{2}{3} x + 2$ となり、傾き $- \frac{2}{3}$ 、切片 $2$ の直線です。
描くときは、 $x = 0$ と $y = 0$ を代入して 2 点 $(0, 2)$ 、 $(3, 0)$ を求めるのも手早い方法です。

二元一次方程式 $a x + b y = c$ のグラフは、どんな図形か？

直線

$y$ について解くと一次関数の式になる（ $b \neq = 0$ のとき）。

二元一次方程式を「関数を表す式」とみるには、どう変形するか？

$y$ について解く（ $y = \dots$ の形にする）

すると傾きと切片が読み取れる。

$2 x + 3 y = 6$ のグラフを手早く描くには、どの 2 点を求めるとよいか？

$x = 0$ のときの点 $(0, 2)$ と、 $y = 0$ のときの点 $(3, 0)$

$y$ 軸・ $x$ 軸との交点。分数の傾きを使わずに描ける。

2. 座標軸に平行な直線

根拠: 学習指導要領中2-C-(1)-ア-(ウ)

$a x + b y = c$ で $a = 0$ のときは $y = k$ の形、 $b = 0$ のときは $x = h$ の形になります。
これらも直線ですが、 $x = h$ のほうは $y$ を $x$ の式で表せません。

方程式 $y = k$ のグラフは、どんな直線か？

点 $(0, k)$ を通り、 $x$ 軸に平行な直線

$x$ がどんな値でも $y$ は $k$ 。横にまっすぐな線。

方程式 $x = h$ のグラフは、どんな直線か？

点 $(h, 0)$ を通り、 $y$ 軸に平行な直線

$y$ がどんな値でも $x$ は $h$ 。縦にまっすぐな線。

方程式 $y = 0$ のグラフは何か？

$x$ 軸

$y$ 座標が 0 の点の集まり。同じように $x = 0$ のグラフは $y$ 軸。

3. 連立方程式の解とグラフ

根拠: 学習指導要領中2-C-(1)-ア-(ウ)

2 つの二元一次方程式のグラフの交点は、両方の直線上にある点なので、両方の方程式を満たします。
つまり交点の座標が連立方程式の解です。逆に、交点の座標は連立方程式を解いて求めます。

連立方程式の解は、2 つの方程式のグラフでは何にあたるか？

2 直線の交点の座標

交点は両方の直線上にあるので、両方の式を満たす。

2 直線の交点の座標は、どうやって正確に求めるか？

2 つの直線の式を連立方程式として解く

グラフを読むだけでは、分数の座標などは正確に分からない。

2 直線が平行なとき、その 2 つの式を組にした連立方程式の解はどうなるか？

解は無い

平行な 2 直線は交わらないので、両方を満たす $(x, y)$ が無い。

連立方程式の 2 つの式のグラフが平行かどうかは、何を比べれば分かるか？

両方を $y$ について解き、傾きを比べる（傾きが等しく切片が違えば平行）

傾きも切片も等しければ同じ直線になり、解は無数にある。

練習問題

問 1　方程式 $3 x - 2 y = 6$ を $y$ について解き、グラフの傾きと切片を答えよ。

$y = \frac{3}{2} x - 3$ 、傾き $\frac{3}{2}$ 、切片 $- 3$

方針　 $y = a x + b$ の形にすれば、 $a$ が傾き、 $b$ が切片と読める。だから $y$ だけを左辺に残すように変形する。

$3 x$ を右辺へ移項する。符号が変わるので、 $- 2 y = - 3 x + 6$
両辺を $- 2$ で割る。右辺は項ごとに割る。 $y = \frac{- 3 x}{- 2} + \frac{6}{- 2}$
$\frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$ 、 $\frac{6}{- 2} = - 3$ なので、 $y = \frac{3}{2} x - 3$
$x$ の係数が傾き、うしろの数が切片。傾きは $\frac{3}{2}$ 、切片は $- 3$

ここで間違えやすい　負の数 $- 2$ で割ると、右辺の 2 つの項の符号が両方とも変わる。 $6$ だけ割り忘れたり、符号を変え忘れたりしやすい。

問 2　方程式 $2 y + 8 = 0$ のグラフはどんな直線か。

点 $(0, - 4)$ を通り、 $x$ 軸に平行な直線

方針　 $x$ が入っていない式なので、 $y$ について解くと $y = k$ （ $k$ は数）の形になる。 $y = k$ のグラフは、 $x$ 軸に平行な直線。

8 を右辺へ移項する。 $2 y = - 8$
両辺を 2 で割る。 $y = - 4$
この式は、 $x$ がどんな値でも $y$ はいつも $- 4$ という意味。点 $(0, - 4)$ 、 $(1, - 4)$ 、 $(2, - 4)$ などを通る。
これらの点は横にまっすぐ並ぶので、グラフは点 $(0, - 4)$ を通り、 $x$ 軸に平行な直線。

ここで間違えやすい　 $y = - 4$ を「 $y$ 軸に平行」としない。 $y$ 軸に平行になるのは $x = k$ の形の式。

問 3　2 直線 $2 x + y = 7$ 、 $x - y = 2$ の交点の座標を求めよ。

$(3, 1)$

方針　交点は両方の直線の上にあるので、両方の式を成り立たせる。だから 2 つの式を連立方程式として解く。 $y$ の係数が $1$ と $- 1$ なので、足せば $y$ が消える。

2 つの式の左辺どうし、右辺どうしを足す。 $(2 x + y) + (x - y) = 7 + 2$
左辺は $y$ が消えて $3 x$ 、右辺は 9 なので、 $3 x = 9$
両辺を 3 で割る。 $x = 3$
$x = 3$ を $x - y = 2$ に代入する。 $3 - y = 2$
3 を右辺へ移項する。 $2 - 3 = - 1$ なので、 $- y = - 1$ 。両辺に $- 1$ をかけて、 $y = 1$
だから、交点の座標は $(3, 1)$
確かめる。 $2 \times 3 + 1 = 7$ 、 $3 - 1 = 2$ で、両方の式が成り立つ。

問 4　2 直線 $y = 2 x + 1$ 、 $y = - x + 7$ の交点の座標を求めよ。

$(2, 5)$

方針　交点の座標は、2 つの式を連立方程式として解けば求まる。どちらも $y = \dots$ の形なので、代入法が早い。交点では $y$ が等しいので、右辺どうしを等号でつなぐ。

$y$ が等しいので、右辺どうしを等しいとおく。 $2 x + 1 = - x + 7$
$- x$ を左辺へ、1 を右辺へ移項する。 $2 x + x = 7 - 1$
両辺を計算する。 $3 x = 6$
両辺を 3 で割る。 $x = 2$
$x = 2$ を $y = 2 x + 1$ に代入する。 $2 \times 2 + 1 = 5$ なので、 $y = 5$
だから、交点の座標は $(2, 5)$
もう一方の式でも確かめる。 $y = - x + 7$ に $x = 2$ を入れると $- 2 + 7 = 5$ で、同じ $y$ になる。

問 5　連立方程式 $y = 2 x + 3$ 、 $4 x - 2 y = 2$ の解について、グラフを使って説明せよ。

解は無い

方針　連立方程式の解は、2 つの式のグラフの交点の座標。だから、2 つの直線が交わるかどうかを調べる。両方を $y = a x + b$ の形にして、傾きと切片を比べる。

2 つめの式 $4 x - 2 y = 2$ を $y$ について解く。 $4 x$ を移項して、 $- 2 y = - 4 x + 2$
両辺を $- 2$ で割る。 $\frac{- 4}{- 2} = 2$ 、 $\frac{2}{- 2} = - 1$ なので、 $y = 2 x - 1$
2 つの式を並べる。 $y = 2 x + 3$ は傾き 2・切片 3、 $y = 2 x - 1$ は傾き 2・切片 $- 1$ 。
傾きが等しく、切片が違うので、2 直線は平行。
平行な 2 直線は交わらないので、交点が無い。だから、連立方程式の解は無い。

計算でも確かめられる。 $y = 2 x + 3$ を $4 x - 2 y = 2$ に代入すると、左辺は $4 x - 2 (2 x + 3) = 4 x - 4 x - 6$ で、 $x$ が消えて $- 6$ になる。右辺の 2 と等しくならないので、成り立つ $x$ が無い。

ここで間違えやすい　傾きも切片も等しいときは、同じ直線になって解は無数にある。「傾きが等しい」だけで「解は無い」と決めず、切片も比べる。