一次関数の利用
このノートの問いがそのまま復習カードになり、忘れかけたころに出題されます。
学習指導要領 第 2 学年 C 関数 (1) 一次関数 ア (イ)「事象の中には一次関数として捉えられるものがあることを知ること」。
0. 何を押さえるか
身のまわりの量の変化を一次関数で表すと、式で計算でき、グラフで一目で比べられるようになります。
使うときに読み取るのは、グラフの「傾き」「交点」「変域」の 3 つです。
| グラフのどこ | 何を表すか（時間と道のりのグラフの例） |
|---|---|
| 傾き | 速さ（急なほど速い） |
| 水平な部分 | 止まっている |
| 2 つのグラフの交点 | 同じ時刻に同じ場所にいる（出会う・追いつく） |
| 端の点 | 変化の始まりと終わり（変域） |
引っかけの分かれ目は次の 3 つ。
- 道のりのグラフの傾きは速さ。傾きが負なら、出発点へ戻っている
- 交点は「同じ時刻に同じ値」。どちらが安い・速いかは交点の前後で入れ替わる
- 動点の問題は、点がどの辺にいるかで式が変わる（変域ごとに分ける）
1. 速さ・時間・道のりのグラフ
根拠: 学習指導要領 中2-C-(1)-ア-(イ)
一定の速さで進むとき、道のりは時間の一次関数（出発点からなら比例）です。
横軸に時間、縦軸に道のりをとると、グラフの傾きが速さになります。
横軸に時間、縦軸に道のりをとったグラフで、直線の傾きは何を表すか？
速さ
傾き ＝ 道のりの増加量 ÷ 時間の増加量。傾きが急なほど速い。
時間と道のりのグラフで、水平な部分は何を表すか？
止まっている（時間がたっても道のりが変わらない）
傾き 0 ＝ 速さ 0。
時間と「家からの道のり」のグラフで、右下がりの部分は何を表すか？
家に向かって戻っている
家からの道のりが減っていく。傾きの絶対値が速さ。
2 人の進み方を同じグラフに表したとき、2 つの直線の交点は何を表すか？
2 人が同じ時刻に同じ地点にいる（出会う・追いつく）
交点の横の座標が時刻、縦の座標が地点。式を連立させて求める。
2. 変域のある一次関数
根拠: 学習指導要領 中2-C-(1)-ア-(イ)
水そうが満水になるまで、ろうそくが燃えつきるまで、のように、事象には始まりと終わりがあります。
そのため、式には の変域を添え、グラフは直線でなく線分になります。
事象を一次関数で表すとき、式といっしょに書き添えるものは？
の変域（例: ）
満水・燃えつきなど、式が成り立つ範囲に限りがある。グラフは線分になる。
水そうから一定の割合で水を抜くとき、時間と水の量のグラフの傾きの符号は？
負（右下がり）
傾きの絶対値が 1 分あたりに抜ける量、切片がはじめの水の量。
3. 動点と面積
根拠: 学習指導要領 中2-C-(1)-ア-(イ)
図形の辺の上を点が動くとき、できる三角形の面積は時間の関数になります。
点が別の辺に移るたびに、面積を表す式が変わるので、変域を分けて式を立てます。
長方形の辺の上を点 P が動くとき、面積を表す式はどこで変わるか？
点 P が頂点を通って、別の辺に移るところ
変域を「どの辺の上にいるか」で分けて、それぞれ式を立てる。
動点の問題で、面積が変わらない（グラフが水平になる）のはどんなときか？
底辺も高さも変わらない辺の上を点が動くとき
たとえば底辺 AB に平行な辺の上を動くと、高さが一定になる。
4. 交点の意味を読む
根拠: 学習指導要領 中2-C-(1)-ア-(イ)
料金プランの比較では、2 つの料金のグラフの交点で、安いほうが入れ替わります。
2 つの料金プランのグラフの交点は、何を表すか？
2 つのプランの料金が等しくなる使用量
交点より少ない使用量と多い使用量とで、安いプランが入れ替わる。
基本料金が高く 1 単位あたりの料金が安いプランは、使用量がどんなときに得か？
使用量が多いとき（交点より右）
傾きが小さいので、使うほど差が縮まり、交点を越えると逆転する。
練習問題
問 1 弟は 9 時に家を出て、分速 60 m で歩いて駅へ向かった。兄は 9 時 10 分に家を出て、同じ道を自転車で分速 180 m で追いかけた。兄が弟に追いつくのは何時何分か。また、それは家から何 m の地点か。
9 時 15 分、家から 900 m の地点
方針 9 時から 分後の、家からの道のりを m として、弟と兄をそれぞれ式で表す。「追いつく」とは、2 人の家からの道のりが等しくなること。グラフでは 2 直線の交点にあたる。
- 弟は分速 60 m で 分歩くので、
- 兄は 10 分おくれて出るので、進んだ時間は 分。分速 180 m なので、（）
- 兄の式のかっこをはずす。 なので、
- 追いつくとき道のりが等しいので、
- を左辺へ移項する。 なので、
- 両辺を で割る。。追いつくのは 9 時 15 分。
- そのときの道のりは、弟の式から なので、家から 900 m。
- 兄の式でも確かめる。 で、同じ道のりになる。
ここで間違えやすい 兄の式を としない。兄が進んだ時間は 分ではなく、10 分少ない 分。
問 2 長方形 ABCD で AB ＝ 4 cm、BC ＝ 6 cm である。点 P は B を出発し、秒速 1 cm で辺 BC、CD の上を、B から C を通って D まで動く。 秒後の △ABP の面積を cm² とするとき、 を の式で表せ。
のとき 、 のとき
方針 △ABP は、動かない辺 AB を底辺と見る。P がどの辺の上にいるかで高さの決まり方が変わるので、BC の上にいるときと CD の上にいるときに分けて式を立てる。
- 変域を分ける。BC ＝ 6 cm を秒速 1 cm で進むので、P が BC 上にいるのは 。
- CD ＝ AB ＝ 4 cm なので、D に着くのは 秒後。P が CD 上にいるのは 。
- P が BC 上のとき: 底辺 AB ＝ 4、高さ BP ＝ （ 秒で cm 進む）。
- P が CD 上のとき: 底辺 AB ＝ 4、高さはいつも BC ＝ 6。（一定）
- つなぎ目を確かめる。 のとき、 の値は で、あとの式の 12 と同じになる。
ここで間違えやすい P が CD 上に移ってからも のままにしない。CD は AB に平行なので、P が動いても高さは 6 cm のまま変わらない。
問 3 スマホの料金プランが 2 つある。A は基本料金 1000 円で 1 GB ごとに 300 円、B は基本料金 2200 円で 1 GB ごとに 150 円。何 GB より多く使うと B のほうが安くなるか。
8 GB
方針 GB 使ったときの料金を 円として、2 つのプランを式で表す。料金が等しくなる使用量が、安いほうが入れ替わる境目。グラフでは 2 直線の交点にあたる。
- A は基本料金 1000 円に、1 GB ごとに 300 円をたす。
- B は基本料金 2200 円に、1 GB ごとに 150 円をたす。
- 料金が等しいとして、右辺どうしを等号でつなぐ。
- を左辺へ、1000 を右辺へ移項する。
- 両辺を計算する。
- 両辺を 150 で割る。
- 8 GB のときの料金を確かめる。A は 、B は で、どちらも 3400 円。
- 8 GB より多いと、傾き（1 GB ごとの料金）の小さい B のほうが安い。たとえば 10 GB なら、A は 円、B は 円。
ここで間違えやすい ちょうど 8 GB のときは同じ料金。B が安くなるのは 8 GB「より多く」使うとき。
問 4 60 L の水が入った水そうから、毎分 5 L の割合で水を抜く。 分後の水の量を L として、 を の式で表し、 の変域も書け。
（）
方針 「はじめの量」から「一定の割合で減る量」をひくので、一次関数になる。はじめの 60 L が切片、毎分 5 L 減るので傾きは 。変域は、水がなくなるまでの時間で決まる。
- 分間に抜ける水の量は、毎分 5 L なので L。
- はじめの 60 L からひく。 なので、
- 水がなくなるのは のとき。
- 60 を右辺へ移項する。
- 両辺を で割る。。12 分後に水がなくなる。
- 水を抜けるのは 0 分から 12 分までなので、変域は
ここで間違えやすい 水が減るので、傾きは負。 とすると、水が増えていく式になってしまう。
問 5 長さ 20 cm のろうそくが、火をつけると 1 分に 0.5 cm ずつ短くなる。 分後の長さを cm とするとき、 を の式で表し、燃えつきるのは何分後か答えよ。
、40 分後
方針 はじめの長さ 20 cm から、一定の割合で短くなるので、一次関数になる。20 が切片、1 分に 0.5 cm 短くなるので傾きは 。燃えつきるのは、長さ が 0 になるとき。
- 分間に短くなる長さは、1 分に 0.5 cm なので cm。
- はじめの 20 cm からひく。 なので、
- 燃えつきるのは のとき。
- を右辺へ移項する。
- 両辺を 2 倍して、小数をなくす。、 なので、。40 分後に燃えつきる。
- 確かめる。40 分間に短くなる長さは cm で、はじめの長さと同じ。
燃えつきたあとは式が成り立たないので、変域は 。