方程式とその解｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 1 学年 A 数と式 (3) 一元一次方程式ア (ア)「方程式の必要性と意味及び方程式の中の文字や解の意味を理解すること」。

0. 何を押さえるか

等式 $2 x + 5 = 3$ は、 $x$ に $- 1$ を入れたときだけ成り立ち、ほかの値では成り立ちません。
このように、文字に特定の値を入れたときだけ成り立つ等式が方程式です。
方程式の中の文字は、まだ分かっていない数で、その値を探すのが「解く」ことです。

言葉	意味
方程式	文字に特定の値を代入したときだけ成り立つ等式
解	方程式を成り立たせる文字の値
方程式を解く	解を求めること

方程式は、等式の性質を使って「 $x =$ 数」の形に変えていけば解けます。

等式の性質（ $A = B$ ならば）	式
① 両辺に同じ数を加えても等式は成り立つ	$A + C = B + C$
② 両辺から同じ数をひいても等式は成り立つ	$A - C = B - C$
③ 両辺に同じ数をかけても等式は成り立つ	$A C = B C$
④ 両辺を同じ数でわっても等式は成り立つ	$\frac{A}{C} = \frac{B}{C}$ （ $C$ は 0 でない）

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

解かどうかは、代入して左辺と右辺の値が等しいかで確かめる
両辺を 0 でわることはできない（性質④の $C$ は 0 でない）
両辺に同じことをする（片方の辺だけ変えると等式でなくなる）

1. 方程式と解

根拠: 学習指導要領中1-A-(3)-ア-(ア)

方程式の文字には、いろいろな値を入れて試すことができます。そのうち等式を成り立たせる値が解です。

方程式とは何か？

式の中の文字に特定の値を代入したときだけ成り立つ等式

$2 x + 5 = 3$ は $x = - 1$ のときだけ成り立つ。

方程式の解とは何か？また「方程式を解く」とは？

解は方程式を成り立たせる文字の値。解くは解を求めること

$2 x + 5 = 3$ の解は $- 1$ 。

方程式の中の文字 $x$ は、何を表しているか？

まだ分かっていない数（その値を求めたい数）

$x$ にいろいろな数を入れて、等式が成り立つものを探す。

ある数が方程式の解かどうかは、どう確かめるか？

その数を代入して、左辺と右辺の値が等しくなるかを調べる

$x = 3$ は $4 x - 7 = x + 2$ の解。左辺も右辺も $5$ になる。

2. 等式の性質

根拠: 学習指導要領中1-A-(3)-ア-(ア)

等式は、両辺に同じ操作をしても等式のままです。これを使って、方程式を「 $x =$ 数」の形に変えます。

等式の性質で、加法・減法に関するものは？

両辺に同じ数を加えても、両辺から同じ数をひいても、等式は成り立つ

$A = B$ ならば $A + C = B + C$ 、 $A - C = B - C$ 。

等式の性質で、乗法・除法に関するものは？

両辺に同じ数をかけても、両辺を同じ数でわっても、等式は成り立つ（わる数は 0 でない）

$A = B$ ならば $A C = B C$ 、 $\frac{A}{C} = \frac{B}{C}$ 。

等式の性質で、両辺を同じ数でわるとき、その数に付く条件は？

0 でないこと

0 でわる計算は考えない。

$x - 4 = 3$ を解くには、等式のどの性質を使うか？

両辺に 4 を加える（ $x = 7$ ）

左辺の $- 4$ を消すために $+ 4$ する。

$\frac{x}{3} = 2$ を解くには、等式のどの性質を使うか？

両辺に 3 をかける（ $x = 6$ ）

$\frac{x}{3} \times 3 = x$ になる。

$5 x = - 20$ を解くには、等式のどの性質を使うか？

両辺を 5 でわる（ $x = - 4$ ）

両辺に $\frac{1}{5}$ をかけると考えてもよい。

練習問題

問 1　 $- 1, 0, 1, 2$ のうち、方程式 $2 x + 5 = 3$ の解はどれか。

$- 1$

方針　解は、代入すると左辺と右辺が等しくなる値。4 つの数を 1 つずつ左辺の $2 x + 5$ に代入して、右辺の $3$ になるものをさがす。

$x = - 1$ のとき、左辺は $2 \times (- 1) + 5 = - 2 + 5 = 3$ 。右辺の 3 と等しい。
$x = 0$ のとき、左辺は $2 \times 0 + 5 = 0 + 5 = 5$ 。3 と等しくない。
$x = 1$ のとき、左辺は $2 \times 1 + 5 = 2 + 5 = 7$ 。3 と等しくない。
$x = 2$ のとき、左辺は $2 \times 2 + 5 = 4 + 5 = 9$ 。3 と等しくない。
等しくなったのは $x = - 1$ のときだけなので、解は $- 1$ 。

問 2　 $x = 3$ は方程式 $4 x - 7 = x + 2$ の解か。

解である

方針　解かどうかは、代入して確かめる。左辺と右辺の両方に $x = 3$ を入れて、それぞれの値を計算し、等しいかを見る。

左辺の $4 x - 7$ に代入する。 $4 \times 3 - 7 = 12 - 7 = 5$
右辺の $x + 2$ に代入する。 $3 + 2 = 5$
左辺も右辺も $5$ で等しいので、 $x = 3$ は解である。

問 3　等式の性質を使って、 $x + 8 = 5$ を解け。

$x = - 3$

方針　 $x$ だけを左辺に残したい。じゃまな $+ 8$ を消すために、両辺から 8 をひく（等式の性質②）。

両辺から 8 をひく。 $x + 8 - 8 = 5 - 8$
左辺は $8 - 8 = 0$ なので、 $x$ だけが残る。
右辺を計算する。 $5 - 8 = - 3$
よって、 $x = - 3$

確かめ: $x = - 3$ を左辺に代入すると、 $- 3 + 8 = 5$ で右辺と等しい。

問 4　等式の性質を使って、 $- \frac{x}{4} = 3$ を解け。

$x = - 12$

方針　 $- \frac{x}{4}$ は、 $x$ を $- 4$ でわったもの。わり算を打ち消すために、両辺に $- 4$ をかける（等式の性質③）。

両辺に $- 4$ をかける。左辺は $- \frac{x}{4} \times (- 4)$ 、右辺は $3 \times (- 4)$
左辺を計算する。負の数どうしの積なので符号は $+$ 。4 が約分されて、 $x$ だけが残る。
右辺を計算する。 $3 \times (- 4) = - 12$
よって、 $x = - 12$

確かめ: $x = - 12$ のとき、 $- 12 \div 4 = - 3$ なので、左辺は $- (- 3) = 3$ 。右辺と等しい。

ここで間違えやすい　両辺に $4$ をかけて、 $x = 12$ としてしまう。 $4$ をかけると左辺は $- x$ で、まだ $-$ が残っている。

問 5　等式の性質を使って、 $3 x + 2 = 14$ を解け。どの性質をどの順に使ったかも答えよ。

$x = 4$

方針　 $x$ だけを左辺に残したい。 $3 x + 2$ は「 $x$ に 3 をかけて、2 をたした」形なので、逆の順に、あとからたした $+ 2$ を先に消し、つぎに 3 を消す。

両辺から 2 をひく（性質②）。 $3 x + 2 - 2 = 14 - 2$
左辺は $3 x$ だけが残る。右辺は $14 - 2 = 12$ なので、 $3 x = 12$
両辺を 3 でわる（性質④）。左辺は $3 x \div 3$ 、右辺は $12 \div 3$
左辺は $x$ だけが残る。右辺は $12 \div 3 = 4$ なので、 $x = 4$
使った順は、性質②、性質④。

確かめ: $x = 4$ を左辺に代入すると、 $3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = 14$ で右辺と等しい。