一元一次方程式の解き方｜中学数学

学習指導要領第 1 学年 A 数と式 (3) 一元一次方程式ア (イ)「簡単な一元一次方程式を解くこと」と、
内容の取扱い (4)「簡単な比例式を解くこと」。

0. 何を押さえるか

等式の性質を毎回書くかわりに、移項を使うと速く解けます。
移項して整理すると $a x = b$ の形になる方程式が一元一次方程式で、次の手順で解けます。

手順	すること
1	係数に小数・分数があれば、両辺に同じ数をかけて整数にする
2	かっこがあれば、分配法則ではずす
3	文字の項を左辺に、数の項を右辺に移項する
4	両辺を整理して $a x = b$ の形にする
5	両辺を $x$ の係数 $a$ でわる

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

移項すると符号が変わる（等式の性質①②を使っているから）
分母をはらうときは、すべての項にかける（分数でない項にもかける）
比例式 $a : b = c : d$ は $a d = b c$ に直す

1. 移項

根拠: 学習指導要領中1-A-(3)-ア-(イ)

$x + 5 = 8$ の両辺から 5 をひくと $x = 8 - 5$ です。左辺の $+ 5$ が、右辺では $- 5$ になって移ったように見えます。

移項とは何か？

等式の一方の辺の項を、符号を変えて他方の辺に移すこと

$3 x - 7 = x + 5$ は、 $3 x - x = 5 + 7$ になる。

移項すると符号が変わるのはなぜか？

両辺に同じ数を加える（ひく）という等式の性質を使っているから

$x + 5 = 8$ の両辺から 5 をひくと $x = 8 - 5$ 。これを 1 回の操作にまとめたのが移項。

一元一次方程式とは、どんな方程式か？

移項して整理すると（一次式） $= 0$ の形になる方程式

文字が 1 種類で、その文字について一次。 $a x = b$ （ $a$ は 0 でない）の形に直せる。

一元一次方程式は、移項したあとどう解くか？

両辺を整理して $a x = b$ にし、両辺を $x$ の係数 $a$ でわる

$2 x = 12$ なら両辺を 2 でわって $x = 6$ 。

2. いろいろな一元一次方程式

根拠: 学習指導要領中1-A-(3)-ア-(イ)

かっこ・小数・分数をふくむ方程式は、まず形を整えてから移項します。

かっこをふくむ方程式は、まずどうするか？

分配法則でかっこをはずす

$4 (x - 2) = 2 x + 6$ は $4 x - 8 = 2 x + 6$ にしてから移項する。

係数に小数をふくむ方程式は、まずどうするか？

両辺に 10 や 100 をかけて、係数を整数にする

$0.3 x + 1.2 = 0.5 x - 0.4$ は両辺に 10 をかけて $3 x + 12 = 5 x - 4$ 。

係数に分数をふくむ方程式は、まずどうするか？

両辺に分母の最小公倍数をかけて、分母をはらう

$\frac{x - 1}{3} = \frac{x + 2}{4}$ は両辺に 12 をかけて $4 (x - 1) = 3 (x + 2)$ 。

$\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3}$ の分母をはらうと、どんな式になるか？

$3 x + 6 = 2 x$

両辺に 6 をかける。分数でない項 $1$ にも 6 をかけるのを忘れやすい。

3. 比例式

根拠: 学習指導要領中1-A-(3)-ア-(イ)

$a : b = c : d$ のように、2 つの比が等しいことを表す式を比例式といいます。
比例式は、次の性質を使って一元一次方程式に直して解きます。

比例式とは何か？

$a : b = c : d$ のように、比が等しいことを表す式

比 $a : b$ の値は $\frac{a}{b}$ 。比例式は $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ と同じ意味。

比例式 $a : b = c : d$ の性質は？

$a d = b c$ （外側の項の積＝内側の項の積）

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ の両辺に $b d$ をかけると $a d = b c$ になる。

4. 方程式を使って問題を解く

根拠: 学習指導要領中1-A-(3)-ア-(イ)

文章題は、求めたい数量を文字で表し、等しい関係を見つけて方程式にします。

方程式を使って文章題を解く流れは？

① 求める数量を $x$ とおく → ② 等しい関係を見つけて方程式をつくる → ③ 解く → ④ 解が問題に合っているか確かめる

等しい関係は「同じものを 2 通りに表す」と見つけやすい。

方程式の解を求めたあと、問題に合っているか確かめるのはなぜか？

方程式の解が、そのまま問題の答えにならないことがあるから

人数や個数が負の数や分数になったら、その問題の答えにはならない。

練習問題

問 1　 $3 x - 7 = x + 5$ を解け。

$x = 6$

方針　文字の項を左辺に、数の項を右辺に集めて、 $a x = b$ の形にする。集めるには移項を使う。移項すると符号が変わる。

右辺の $x$ を左辺に移項する。符号が変わって $- x$ になる。 $3 x - 7 - x = 5$
左辺の $- 7$ を右辺に移項する。符号が変わって $+ 7$ になる。 $3 x - x = 5 + 7$
両辺をそれぞれ計算する。 $3 x - x = 2 x$ 、 $5 + 7 = 12$ なので、 $2 x = 12$
両辺を $x$ の係数の 2 でわる。 $12 \div 2 = 6$ なので、 $x = 6$

確かめ: $x = 6$ のとき、左辺は $3 \times 6 - 7 = 18 - 7 = 11$ 、右辺は $6 + 5 = 11$ で等しい。

ここで間違えやすい　移項したのに符号を変え忘れて、 $3 x + x = 5 - 7$ としてしまう。

問 2　 $0.3 x + 1.2 = 0.5 x - 0.4$ を解け。

$x = 8$

方針　小数のままだと計算しにくい。小数はどれも小数第 1 位までなので、両辺に 10 をかけて整数にしてから、移項して解く。

両辺に 10 をかける。すべての項にかける。 $0.3 x \times 10 = 3 x$ 、 $1.2 \times 10 = 12$ 、 $0.5 x \times 10 = 5 x$ 、 $0.4 \times 10 = 4$
方程式は、 $3 x + 12 = 5 x - 4$ になる。
$5 x$ を左辺に、 $12$ を右辺に移項する。符号が変わって、 $3 x - 5 x = - 4 - 12$
両辺をそれぞれ計算する。 $3 x - 5 x = - 2 x$ 、 $- 4 - 12 = - 16$ なので、 $- 2 x = - 16$
両辺を $x$ の係数の $- 2$ でわる。 $(- 16) \div (- 2) = 8$ なので、 $x = 8$

確かめ: $x = 8$ のとき、左辺は $0.3 \times 8 + 1.2 = 2.4 + 1.2 = 3.6$ 、右辺は $0.5 \times 8 - 0.4 = 4 - 0.4 = 3.6$ で等しい。

ここで間違えやすい　 $1.2$ や $0.4$ に 10 をかけ忘れる。 $x$ のついていない項にもかける。

問 3　 $\frac{x - 1}{3} = \frac{x + 2}{4}$ を解け。

$x = 10$

方針　分数のままだと移項しにくい。分母の 3 と 4 の最小公倍数の 12 を両辺にかけて、分母をはらう。分子は、かっこをつけたひとまとまりとして扱う。

両辺に 12 をかける。左辺は $\frac{x - 1}{3} \times 12$ 、右辺は $\frac{x + 2}{4} \times 12$
左辺は 12 と 3 を約分する。 $12 \div 3 = 4$ なので、 $4 (x - 1)$
右辺は 12 と 4 を約分する。 $12 \div 4 = 3$ なので、 $3 (x + 2)$
方程式は、 $4 (x - 1) = 3 (x + 2)$ になる。
分配法則でかっこをはずす。 $4 x - 4 = 3 x + 6$
$3 x$ を左辺に、 $- 4$ を右辺に移項する。符号が変わって、 $4 x - 3 x = 6 + 4$
両辺をそれぞれ計算して、 $x = 10$

確かめ: $x = 10$ のとき、左辺は $\frac{10 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$ 、右辺は $\frac{10 + 2}{4} = \frac{12}{4} = 3$ で等しい。

ここで間違えやすい　分子にかっこをつけずに、 $4 x - 1 = 3 x + 2$ としてしまう。 $- 1$ にも 4 を、 $+ 2$ にも 3 をかける。

問 4　比例式 $x : 12 = 5 : 4$ を解け。

$x = 15$

方針　比例式は、「外側の項の積と内側の項の積が等しい」という性質を使って、ふつうの方程式に直す。外側は $x$ と $4$ 、内側は $12$ と $5$ 。

外側の項をかける。 $x \times 4$ で、 $4 x$
内側の項をかける。 $12 \times 5 = 60$
この 2 つが等しいので、 $4 x = 60$
両辺を $x$ の係数の 4 でわる。 $60 \div 4 = 15$ なので、 $x = 15$

確かめ: $15 : 12$ は、両方を 3 でわると $5 : 4$ 。右辺と同じ比になる。

問 5　1 本 80 円の鉛筆と 1 本 120 円のペンを合わせて 10 本買い、代金は 1000 円だった。鉛筆とペンをそれぞれ何本買ったか。

鉛筆 5 本、ペン 5 本

方針　分からない数は鉛筆とペンの本数の 2 つだが、合わせて 10 本と分かっている。鉛筆を $x$ 本とおけば、ペンの本数も $x$ で表せる。代金の合計が 1000 円になることを方程式にする。

鉛筆を $x$ 本とする。合わせて 10 本なので、ペンは $(10 - x)$ 本。
鉛筆の代金は $80 x$ 円、ペンの代金は $120 (10 - x)$ 円。
合計が 1000 円なので、 $80 x + 120 (10 - x) = 1000$
分配法則でかっこをはずす。 $120 \times 10 = 1200$ なので、 $80 x + 1200 - 120 x = 1000$
$1200$ を右辺に移項する。符号が変わって、 $80 x - 120 x = 1000 - 1200$
両辺をそれぞれ計算する。係数は $80 - 120 = - 40$ 、右辺は $1000 - 1200 = - 200$ なので、 $- 40 x = - 200$
両辺を $x$ の係数の $- 40$ でわる。 $(- 200) \div (- 40) = 5$ なので、 $x = 5$
ペンは $10 - 5 = 5$ （本）。

確かめ: $80 \times 5 + 120 \times 5 = 400 + 600 = 1000$ 。本数も自然数なので、問題に合っている。

ここで間違えやすい　かっこをはずすとき、 $120$ を $- x$ にかけ忘れる。 $120 (10 - x)$ は $1200 - 120 x$ 。

問 6　何人かの子どもにあめを配る。1 人に 3 個ずつ配ると 5 個余り、4 個ずつ配ると 2 個足りない。子どもの人数とあめの個数を求めよ。

子ども 7 人、あめ 26 個

方針　子どもの人数を $x$ 人とおく。あめの個数は、配り方を変えても同じ。そこで、あめの個数を 2 通りの式で表して、等号でつなぐ。

3 個ずつ配ると 5 個余る。配った $3 x$ 個より 5 個多いので、あめは $(3 x + 5)$ 個。
4 個ずつ配ると 2 個足りない。配りたい $4 x$ 個より 2 個少ないので、あめは $(4 x - 2)$ 個。
どちらも同じあめの個数なので、 $3 x + 5 = 4 x - 2$
$4 x$ を左辺に、 $5$ を右辺に移項する。符号が変わって、 $3 x - 4 x = - 2 - 5$
両辺をそれぞれ計算する。係数は $3 - 4 = - 1$ 、右辺は $- 2 - 5 = - 7$ なので、 $- x = - 7$
両辺を $- 1$ でわって、 $x = 7$
あめの個数は、 $3 \times 7 + 5 = 21 + 5 = 26$ （個）。

確かめ: もう 1 つの式でも、 $4 \times 7 - 2 = 28 - 2 = 26$ （個）で同じになる。

ここで間違えやすい　「余る」は配った数より多いので $+$ 、「足りない」は少ないので $-$ 。逆にしない。