基本的な作図

線分 AB の垂直二等分線を引き、ℓ との交点を P とする。

方針　点 P の条件は 2 つある。「A と B から等しい距離にある」と「ℓ の上にある」。2 点から等しい距離にある点は、その 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線の上に集まるので、まずそれを引く。

1. 点 A を中心に、AB の半分より大きい半径の円をかく。
2. 点 B を中心に、同じ半径の円をかく。
3. 2 つの円の交点を結ぶ直線を引く。これが線分 AB の垂直二等分線。
4. この直線と ℓ との交点を P とする。

P は垂直二等分線の上にあるので PA = PB。ℓ の上にもあるので、2 つの条件を両方満たす。

2 辺（たとえば AB と BC）の垂直二等分線を引き、その交点を O とする。

方針　円の中心から円周上の点までの距離は、どれも半径で等しい。だから中心 O は、A、B、C の 3 点から等しい距離にある点。「2 点から等しい距離」は垂直二等分線で作れるので、これを 2 回使う。

1. 辺 AB の垂直二等分線を引く。この直線上の点は、A と B から等しい距離にある。
2. 辺 BC の垂直二等分線を引く。この直線上の点は、B と C から等しい距離にある。
3. 2 本の交点を O とする。O は両方の直線の上にあるので、OA = OB と OB = OC が成り立つ。
4. だから OA = OB = OC。O を中心に半径 OA の円をかくと、3 つの頂点を通る。

OA = OC でもあるので、残りの辺 CA の垂直二等分線も O を通る。作図は 2 本で足りる。

∠BAC の二等分線を引き、辺 BC との交点を P とする。

方針　「2 つの辺から等しい距離にある点」は、その 2 辺がつくる角の二等分線の上に集まる。辺 AB と辺 AC がつくる角は ∠BAC なので、その二等分線を引く。

1. 頂点 A を中心に円をかき、辺 AB、辺 AC との交点をとる。
2. その 2 つの交点を中心に、同じ半径の円をかく。その交点と A を結ぶ半直線を引く。これが ∠BAC の二等分線。
3. この半直線と辺 BC との交点を P とする。

P は二等分線の上にあるので、辺 AB と辺 AC から等しい距離にある。辺 BC の上にもある。

ここで間違えやすい　「2 つの辺から等しい距離」は角の二等分線、「2 つの点から等しい距離」は垂直二等分線。辺 BC の中点をとるのではない。

直線上の点で垂線を引いて 90° の角をつくり、その角の二等分線を引く。

方針　45° は 90° のちょうど半分。90° の角は垂線の作図で作れる。半分にするのは角の二等分線の作図でできる。この 2 つを順に使う。

1. 直線を引き、その上に点 O をとる。
2. O を中心に円をかき、直線との交点を 2 つとる。その 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線を引く。これが O を通る垂線で、90° の角ができる。
3. その 90° の角の二等分線を引く。
4. 90° の半分なので、$90÷2=45$（°）の角ができる。

ここで間違えやすい　作図では分度器を使わない。使うのは定規（直線を引くだけ）とコンパスだけ。

90°

方針　接線は、接点を通る半径に垂直。O、A、P、B を順に結んだ四角形 OAPB に注目する。4 つの角のうち 3 つが分かるので、残りの ∠APB は、四角形の角の和 360° からひいて求める。

1. 直線 PA は A を接点とする接線。半径 OA に垂直なので、∠OAP = 90°。
2. 直線 PB は B を接点とする接線。半径 OB に垂直なので、∠OBP = 90°。
3. 問題文から、∠AOB = 90°。
4. 四角形 OAPB の 4 つの角の和は 360°。分かっている 3 つの角をひく。
5. ∠APB は、$360-90-90-90=90$（°）

4 つの角がすべて 90° で、OA = OB（半径）なので、四角形 OAPB は正方形になっている。