式の展開｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 3 学年 A 数と式 (2) 簡単な多項式ア (ア)「単項式と多項式の乗法及び多項式を単項式で割る除法の計算をすること」と、
(イ)「簡単な一次式の乗法の計算及び次の公式を用いる簡単な式の展開や因数分解をすること」のうち展開。

0. 何を押さえるか

かっこのある積の形の式を、かっこをはずして単項式の和の形に表すことを展開といいます。
どの展開も、もとをたどれば分配法則です。よく出る形は、告示が示した 4 つの乗法公式にまとめておきます。

公式	式
和の 2 乗	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
差の 2 乗	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
和と差の積	$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
$x + a$ と $x + b$ の積	$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

$(a + b)^{2}$ は $a^{2} + b^{2}$ ではない（真ん中の $2 ab$ を落とさない）
$(2 x)^{2}$ は $4 x^{2}$ （係数も 2 乗する。 $2 x^{2}$ にしない）
多項式を単項式で割るときは、各項を割る（分数で割るなら逆数をかける）

1. 単項式と多項式の乗法・除法

根拠: 学習指導要領中3-A-(2)-ア-(ア)

単項式と多項式の積は、分配法則で単項式を各項にかけます。多項式を単項式で割るときは、各項を割るか、逆数をかけます。

展開とは何か？

単項式や多項式の積の形の式を、かっこをはずして単項式の和の形に表すこと

$2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ のように直すこと。逆向きが因数分解。

単項式と多項式の乗法 $a (b + c)$ は、どう計算するか？

$ab + a c$ （分配法則。 $a$ をすべての項にかける）

$- 3 a (2 a - 5 b) = - 6 a^{2} + 15 ab$ 。符号も各項にかかる。

多項式を単項式で割る $(6 x^{2} - 9 x) \div 3 x$ は、どう計算するか？

各項を $3 x$ で割って、 $2 x - 3$

$\frac{6 x ^{2}}{3 x} - \frac{9 x}{3 x}$ と分けて考える。

多項式を分数の形の単項式 $\frac{2}{3} a$ で割るときは、どうするか？

逆数 $\frac{3}{2 a}$ をかける

$(4 a^{2} b + 6 ab) \div \frac{2}{3} a = (4 a^{2} b + 6 ab) \times \frac{3}{2 a} = 6 ab + 9 b$ 。

2. 多項式どうしの乗法

根拠: 学習指導要領中3-A-(2)-ア-(イ)

多項式どうしの積は、一方の多項式を 1 つのまとまりと見て分配法則を 2 回使います。項の数どうしをかけた数だけ項が出るので、最後に同類項をまとめます。

$(a + b) (c + d)$ を展開すると？

$a c + a d + b c + b d$

$a$ と $b$ を、それぞれ $c$ と $d$ の両方にかける。2 項 × 2 項で 4 つの項ができる。

3. 乗法公式

根拠: 学習指導要領中3-A-(2)-ア-(イ)

よく出る形の積は、展開した結果を公式として覚えておくと、途中を書かずに展開できます。
公式の $a$ 、 $b$ 、 $x$ には、数だけでなく $2 x$ や $- 3 y$ のような式もそのまま入ります。

乗法公式: $(x + a) (x + b) =$ ？

$x^{2} + (a + b) x + ab$

$x$ の係数は $a$ と $b$ の和、定数項は積。

乗法公式: $(a + b)^{2} =$ ？

$a^{2} + 2 ab + b^{2}$

真ん中は $a$ と $b$ の積の 2 倍。

乗法公式: $(a - b)^{2} =$ ？

$a^{2} - 2 ab + b^{2}$

符号が変わるのは真ん中の項だけ。 $b^{2}$ は $+$ のまま。

乗法公式: $(a + b) (a - b) =$ ？

$a^{2} - b^{2}$

和と差の積。 $ab$ の項は打ち消し合って消える。

4. 取り違えやすいところ

根拠: 学習指導要領中3-A-(2)-ア-(イ)

公式を使う展開の失敗は、ほとんどが「項を落とす」「符号」「係数の 2 乗」の 3 つです。

$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ は正しいか？

正しくない。 $a^{2} + 2 ab + b^{2}$

$a = 1, b = 2$ で確かめると、 $(1 + 2)^{2} = 9$ だが $1^{2} + 2^{2} = 5$ 。 $2 ab$ の分だけ違う。

$(x + 5) (x - 2)$ を展開すると？

$x^{2} + 3 x - 10$

$(x + a) (x + b)$ で $a = 5, b = - 2$ 。和は $3$ 、積は $- 10$ 。 $b$ は符号ごと入れる。

$(2 x + 1)^{2}$ を展開すると？

$4 x^{2} + 4 x + 1$

$a = 2 x$ として公式に入れる。 $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ 、 $2 \times 2 x \times 1 = 4 x$ 。

練習問題

問 1　 $(8 x^{2} y - 12 x y^{2}) \div 4 x y$ を計算せよ。

$2 x - 3 y$

方針　多項式を単項式で割るときは、かっこの中の項を 1 つずつ割る。分数の形に書くと、約分するところが見やすい。

2 つの項を、それぞれ $4 x y$ で割る形に分ける。 $\frac{8 x ^{2} y}{4 x y} - \frac{12 x y ^{2}}{4 x y}$
1 つ目を約分する。数は $8 \div 4 = 2$ 。文字は $x^{2} y$ を $x y$ で割るので、 $x$ が 1 つ残る。だから $2 x$
2 つ目を約分する。数は $12 \div 4 = 3$ 。文字は $x y^{2}$ を $x y$ で割るので、 $y$ が 1 つ残る。だから $3 y$
間の符号はひき算のままなので、 $2 x - 3 y$

ここで間違えやすい　1 つ目の項だけを割って、2 つ目の項を割り忘れる。 $4 x y$ は両方の項を割る。

問 2　 $(x + 4) (x - 7)$ を展開せよ。

$x^{2} - 3 x - 28$

方針　どちらのかっこも「 $x$ ＋数」の形なので、公式 $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$ が使える。 $x - 7$ は $x + (- 7)$ と見て、 $a = 4$ 、 $b = - 7$ とする。

$x$ の係数は 2 数の和。 $4 + (- 7) = - 3$
定数項は 2 数の積。 $4 \times (- 7) = - 28$
公式に入れて、 $x^{2} - 3 x - 28$

ここで間違えやすい　 $b$ を $7$ としてしまう。 $- 7$ は符号ごと入れる。

問 3　 $(3 a - 2 b)^{2}$ を展開せよ。

$9 a^{2} - 12 ab + 4 b^{2}$

方針　「（ひき算）の 2 乗」の形なので、差の 2 乗の公式 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ を使う。公式の $a$ のところに $3 a$ を、 $b$ のところに $2 b$ を、まとまりのまま入れる。

はじめの項を 2 乗する。 $3$ も $a$ も 2 乗するので、 $(3 a)^{2} = 9 a^{2}$
真ん中の項は、2 つの項の積の 2 倍。 $2 \times 3 a \times 2 b = 12 ab$ 。差の 2 乗なので、符号は $-$ になる。
うしろの項を 2 乗する。 $(2 b)^{2} = 4 b^{2}$ 。ここの符号は $+$
3 つを並べて、 $9 a^{2} - 12 ab + 4 b^{2}$

ここで間違えやすい　 $(3 a)^{2}$ を $3 a^{2}$ にしてしまう。係数の $3$ も 2 乗して $9$ にする。

問 4　 $(x + 6) (x - 6)$ を展開せよ。

$x^{2} - 36$

方針　2 つのかっこは、同じ $x$ と $6$ の「和」と「差」になっている。この形は、和と差の積の公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ が使える。

公式で $a = x$ 、 $b = 6$ とする。 $(x + 6) (x - 6) = x^{2} - 6^{2}$
$6^{2} = 36$ なので、 $x^{2} - 36$

確かめ：分配法則で 4 つの項を出すと $x^{2} - 6 x + 6 x - 36$ 。 $- 6 x$ と $+ 6 x$ が消えて、同じ $x^{2} - 36$ になる。

問 5　 $(2 x - 1) (3 x + 4)$ を展開せよ。

$6 x^{2} + 5 x - 4$

方針　 $x$ の係数が $2$ と $3$ でちがうので、乗法公式の形ではない。分配法則で、前のかっこの 2 つの項を、うしろのかっこの 2 つの項にそれぞれかけて、4 つの項を出す。

$2 x$ を、 $3 x$ と $4$ にかける。 $2 x \times 3 x = 6 x^{2}$ 、 $2 x \times 4 = 8 x$
$- 1$ を、 $3 x$ と $4$ にかける。 $- 1 \times 3 x = - 3 x$ 、 $- 1 \times 4 = - 4$
4 つの項を並べる。 $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4$
同類項の $8 x - 3 x$ をまとめると $5 x$ なので、 $6 x^{2} + 5 x - 4$

ここで間違えやすい　 $- 1$ をかけるときに符号を落とす。 $- 1$ は符号ごとかける。

問 6　 $(x + 3)^{2} - (x + 2) (x - 2)$ を計算せよ。

$6 x + 13$

方針　前は和の 2 乗、うしろは和と差の積。それぞれを公式で展開してから、ひき算をする。うしろは展開した式にかっこを付けたままひく。

前を展開する。 $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2}$ なので、 $x^{2} + 6 x + 9$
うしろを展開する。 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2^{2}$ なので、 $x^{2} - 4$
かっこを付けてひき算の形に書く。 $(x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} - 4)$
うしろのかっこを外す。前に $-$ があるので、中の符号が全部変わる。 $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} + 4$
$x^{2}$ と $- x^{2}$ は消える。数は $9 + 4 = 13$ なので、 $6 x + 13$

ここで間違えやすい　かっこを付けずに $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 4$ と書いてしまう。 $- 4$ をひくので、 $+ 4$ になる。