多角形の角｜中学数学 — みならいノート

学習指導要領第 2 学年 B 図形 (1) 基本的な平面図形の性質ア (イ)「多角形の角についての性質が見いだせることを知ること」。

0. 何を押さえるか

多角形の内側にできる角を内角、1 つの辺とそのとなりの辺の延長とがつくる角を外角といいます。
1 つの頂点で、内角と外角の和は 180°（一直線）です。
三角形の内角の和 180° を土台にすると、どんな多角形の角の和も求められます。

図形	内角の和	外角の和
三角形	180°	360°
四角形	360°	360°
五角形	540°	360°
$n$ 角形	$180° \times (n - 2)$	360°（ $n$ によらない）

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

内角の和は $n$ で変わるが、外角の和はいつも 360°
$n$ 角形は、1 つの頂点から対角線を引くと $n - 2$ 個の三角形に分けられる（ $n$ 個ではない）
正多角形の角は外角から求めると速い（1 つの外角 $= 360° \div n$ 、内角 $= 180° -$ 外角）

1. 三角形の内角と外角

根拠: 学習指導要領中2-B-(1)-ア-(イ)

三角形の 1 つの外角は、内角と合わせて 180°、3 つの内角の和も 180° なので、
外角は、それととなり合わない 2 つの内角の和に等しいことが分かります。

内角と外角とは？

内角は多角形の内側の角。外角は、1 つの辺ととなりの辺の延長がつくる角

1 つの頂点で、内角＋外角＝ 180°。

三角形の外角について成り立つ性質は？

三角形の 1 つの外角は、それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい

△ABC の C の外角＝ ∠A ＋ ∠B。内角の和 180° と一直線の 180° から出る。

三角形の内角で、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形の分かれ目は？

最も大きい内角が 90° より小さいか・90° か・90° より大きいか

鋭角三角形は 3 つとも鋭角。直角・鈍角は 1 つの角だけで決まる（2 つ以上はあり得ない）。

三角形の中に、鈍角は最大いくつあるか？

1 つ

鈍角は 90° より大きいので、2 つあると和が 180° を超えてしまう。

2. 多角形の内角の和

根拠: 学習指導要領中2-B-(1)-ア-(イ)

$n$ 角形の 1 つの頂点から対角線を引くと、 $n - 2$ 個の三角形に分けられます。
それぞれの内角の和が 180° なので、 $n$ 角形の内角の和は $180° \times (n - 2)$ です。

$n$ 角形の内角の和を表す式は？

$180° \times (n - 2)$

1 つの頂点から対角線を引くと、 $n - 2$ 個の三角形に分けられる。

$n$ 角形の 1 つの頂点から引ける対角線の本数と、分けられる三角形の数は？

対角線は $n - 3$ 本、三角形は $n - 2$ 個

自分自身ととなりの 2 頂点には対角線を引けないので $n - 3$ 本。

六角形の内角の和は？

720°

$180° \times (6 - 2)$ 。四角形は 360°、五角形は 540° と、1 辺増えるごとに 180° ずつ増える。

3. 多角形の外角の和

根拠: 学習指導要領中2-B-(1)-ア-(イ)

$n$ 角形では、各頂点の内角と外角の和が 180° なので、全部で $180° \times n$ 。
そこから内角の和 $180° \times (n - 2)$ をひくと、外角の和は $180° \times 2 = 360°$ になり、 $n$ によりません。

多角形の外角の和は？

360°（何角形でも同じ）

(内角＋外角) の合計 $180° \times n$ から、内角の和 $180° \times (n - 2)$ をひくと 360°。

内角の和と外角の和のうち、角の数 $n$ によって変わるのはどちらか？

内角の和（外角の和は常に 360°）

角の数を求める問題では、外角の和が一定であることが手がかりになる。

4. 正多角形の角

根拠: 学習指導要領中2-B-(1)-ア-(イ)

正多角形は、すべての辺と角が等しい多角形です。外角もすべて等しいので、
1 つの外角は $360° \div n$ 、1 つの内角は $180° -$ （1 つの外角） で求められます。

正 $n$ 角形の 1 つの外角と 1 つの内角の求め方は？

外角は $360° \div n$ 、内角は $180° -$ （1 つの外角）

内角の和 $180° \times (n - 2)$ を $n$ でわってもよいが、外角からのほうが計算が軽い。

1 つの外角が分かっている正多角形が、何角形かを求めるには？

$360° \div$ （1 つの外角）

外角の和が 360° で、外角がすべて等しいから。1 つの外角が 40° なら正九角形。

練習問題

問 1　△ABC で ∠A = 55°、∠B = 70° のとき、頂点 C における外角の大きさを求めよ。

125°

方針　三角形の外角は、それととなり合わない 2 つの内角の和に等しい。C の外角ととなり合わない内角は ∠A と ∠B で、どちらも分かっているので、たすだけでよい。

C の外角ととなり合う内角は ∠C。となり合わない内角は、∠A = 55° と ∠B = 70°。
この 2 つをたす。外角は $55° + 70° = 125°$
確かめ（別の求め方）。∠C は $180° - 55° - 70° = 55°$ で、外角は ∠C と合わせて一直線なので $180° - 55° = 125°$ 。同じ答えになる。

問 2　八角形の内角の和を求めよ。

1080°

方針　 $n$ 角形の内角の和は $180° \times (n - 2)$ 。八角形は、1 つの頂点から対角線を引くと 6 個の三角形に分けられるので、三角形 6 個分の角の和になる。

式の $n$ に 8 を入れる。 $180° \times (8 - 2)$
かっこの中を先に計算する。 $8 - 2 = 6$
180° に 6 をかける。 $180° \times 6 = 1080°$

ここで間違えやすい　かけるのは 8 ではなく $8 - 2$ の 6。分けられる三角形の数は、角の数より 2 少ない。

問 3　内角の和が 1260° の多角形は何角形か。

九角形

方針　何角形かが分からないので、 $n$ 角形とおく。内角の和の式 $180° \times (n - 2)$ が 1260° に等しいとして、 $n$ についての方程式を解く。

方程式をつくる。 $180° \times (n - 2) = 1260°$
両辺を 180 でわる。 $1260 \div 180 = 7$ なので、 $n - 2 = 7$
両辺に 2 をたす。 $n = 7 + 2 = 9$
$n = 9$ なので、九角形。
確かめ。九角形の内角の和は $180° \times (9 - 2) = 1260°$ で、問題に合う。

ここで間違えやすい　7 は $n - 2$ （分けられる三角形の数）。ここで止めて「七角形」と答えない。

問 4　正十角形の 1 つの外角と 1 つの内角を求めよ。

外角 36°、内角 144°

方針　外角から先に求める。外角の和は何角形でも 360° で、正多角形の外角はすべて等しいので、360° を角の数でわれば 1 つの外角が出る。内角は、外角と合わせて 180° になることから求める。

正十角形の外角は 10 個あり、すべて等しい。1 つの外角は $360° \div 10 = 36°$
1 つの頂点で、内角と外角は合わせて一直線になるので、和は 180°。
180° から外角をひく。1 つの内角は $180° - 36° = 144°$
確かめ（別の求め方）。内角の和は $180° \times (10 - 2) = 1440°$ で、10 でわると $1440° \div 10 = 144°$ 。同じ答えになる。

問 5　1 つの内角が 150° の正多角形は、正何角形か。

正十二角形

方針　内角のままでは、何角形かが分かりにくい。外角に直すと、「外角の和はいつも 360°」「正多角形の外角はすべて等しい」の 2 つから、360° を 1 つの外角でわれば角の数が出る。

内角と外角の和は 180° なので、1 つの外角は $180° - 150° = 30°$
正 $n$ 角形とすると、30° の外角が $n$ 個あって、和が 360°。 $30° \times n = 360°$
両辺を 30 でわる。 $n = 360 \div 30 = 12$
$n = 12$ なので、正十二角形。
確かめ。正十二角形の内角の和は $180° \times (12 - 2) = 1800°$ で、1 つの内角は $1800° \div 12 = 150°$ 。問題に合う。

問 6　五角形 ABCDE で、∠A = 100°、∠B = 110°、∠C = 120°、∠D = 95° のとき、∠E を求めよ。

115°

方針　5 つの角のうち 4 つが分かっている。五角形の内角の和を先に求め、そこから分かっている 4 つの角の合計をひけば、残りの ∠E が出る。

五角形の内角の和を求める。 $180° \times (5 - 2) = 180° \times 3 = 540°$
分かっている 4 つの角をたす。 $100° + 110° + 120° + 95° = 425°$
内角の和からひく。∠E は $540° - 425° = 115°$

ここで間違えやすい　ひくもとの数は 360°（四角形の内角の和）ではない。何角形かを見て、内角の和を先に出す。