合同と三角形の合同条件

EF = 7 cm、∠D = 80°

方針　△ABC ≡ △DEF という書き方は、頂点の順が対応を表す。合同な図形では、対応する辺・角が等しいので、EF に対応する辺と、∠D に対応する角を △ABC の中から探す。

1. 頂点の対応を読む。同じ順の頂点どうしなので、A と D、B と E、C と F が対応する。
2. 辺 EF の両はしの E、F に対応するのは B、C。だから、EF に対応する辺は BC。
3. 対応する辺は等しいので、EF = BC = 7 cm。
4. ∠D に対応する角は ∠A。∠A は問題に書かれていないので、△ABC の内角の和 180° から求める。
5. 180° から ∠B と ∠C をひく。∠A は $180°-40°-60°=80°$
6. 対応する角は等しいので、∠D = ∠A = 80°。

ここで間違えやすい　AB = 5 cm はこの問題では使わない。AB に対応する辺は DE で、EF ではない。

合同。1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

方針　等しいと分かっているのは、辺が 1 組と角が 2 組。この組み合わせで使えそうなのは「1 組の辺とその両端の角」なので、等しい 2 つの角が、等しい辺の両端にあるかを確かめる。

1. 等しいものを並べる。AB = DE（どちらも 4 cm）、∠A = ∠D（どちらも 50°）、∠B = ∠E（どちらも 70°）。
2. △ABC で、辺 AB の両はしの頂点は A と B。だから、辺 AB の両端の角は ∠A と ∠B。
3. △DEF で、辺 DE の両はしの頂点は D と E。だから、辺 DE の両端の角は ∠D と ∠E。
4. どちらの三角形でも、等しい角は等しい辺の両端にある。1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABC ≡ △DEF。

言えない

方針　三角形の合同条件は 3 つとも、辺が少なくとも 1 組等しいことをふくんでいる。だから、等しいと分かっているものの中に辺があるかを確かめる。

1. 等しいものを並べる。∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F で、3 組の角が等しい。
2. 辺の長さは、どちらの三角形も 1 つも分かっていない。
3. 合同条件はどれも、辺が 1 組以上等しくないと使えない。だから、どの条件にも当てはまらない。
4. 実際に、角が 30°、60°、90° の三角定規と、それを 2 倍に拡大した三角形は、3 組の角が等しいのに大きさが違い、重ならない。合同とは言えない。

ここで間違えやすい　3 組の角が等しいと、形は同じになる。しかし合同は「形も大きさも同じ」なので、角だけでは足りない。

△BOD。2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

方針　2 本の線分が O で交わると、O をはさんで向かい合う 2 つの三角形 △AOC と △BOD ができる。辺が 2 組等しいと分かっているので、その間の角が等しいと言えれば、合同条件が使える。

1. △AOC の辺は AO、CO、AC。仮定の AO = BO、CO = DO から、相手は BO と DO を辺にもつ △BOD だと見当をつける。
2. 仮定から、AO = BO。
3. 仮定から、CO = DO。
4. ∠AOC と ∠BOD は、線分 AB と CD が交わってできる向かい合った角（対頂角）なので、等しい。
5. ∠AOC は辺 AO と CO の間の角、∠BOD は辺 BO と DO の間の角になっている。
6. 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOC ≡ △BOD。

ここで間違えやすい　頂点は対応する順に書く。A と B、O と O、C と D が対応するので、△AOC の相手は △BOD（△DOB ではない）。

合同。直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい

方針　どちらも直角三角形なので、直角三角形の合同条件が使えないかを考える。この条件はどちらも「斜辺が等しい」ことから始まるので、等しい辺の中に斜辺（直角の向かいの辺）があるかを確かめる。

1. △ABC の直角は ∠C。その向かいの辺 AB が斜辺。
2. △DEF の直角は ∠F。その向かいの辺 DE が斜辺。
3. 仮定の AB = DE は、斜辺が等しいことを表している。
4. 仮定の BC = EF は、斜辺でない他の 1 辺が等しいことを表している。
5. 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいので、△ABC ≡ △DEF。

ここで間違えやすい　∠C は辺 AB と BC の間の角ではないので、「2 組の辺とその間の角」は使えない。直角三角形だと先に言うから、この条件が使える。