単項式と多項式の計算｜中学数学

学習指導要領第 2 学年 A 数と式 (1) 文字を用いた式ア (ア)「簡単な整式の加法と減法及び単項式の乗法と除法の計算をすること」。

0. 何を押さえるか

中 1 では $3 x + 5$ のような一次式を計算しました。中 2 では文字が 2 種類以上あったり、 $x^{2}$ のように同じ文字が何度もかけ合わされていたりする式を扱います。
やることは中 1 と同じで、同じ種類の項だけをまとめることと、係数と文字を分けて計算することです。

言葉	意味	例
単項式	数や文字の乗法だけでできている式	$5 a$ 、 $- 2 x y$ 、 $x^{2}$ 、 $7$
多項式	単項式の和の形で表された式	$3 x + 2 y - 4$
項	多項式をつくっている 1 つ 1 つの単項式	$3 x + 2 y - 4$ の項は $3 x$ 、 $2 y$ 、 $- 4$
単項式の次数	かけ合わされている文字の個数	$- 2 x y$ は 2 次、 $a^{2} b$ は 3 次
多項式の次数	各項の次数のうち最も大きいもの	$x^{2} + 3 x - 1$ は 2 次式
同類項	文字の部分が同じ項	$3 ab$ と $- 5 ab$

引っかけの分かれ目は次の 3 つ。

次数は係数を数えない（ $- 5 x^{2} y$ の次数は $x$ 、 $x$ 、 $y$ の 3 個で 3 次。5 は関係ない）
$x^{2}$ と $x$ は同類項ではない（文字は同じでも、かけ合わされている個数が違う）
除法は逆数をかける乗法に直す（ $\div \frac{2}{3} x$ は $\times \frac{3}{2 x}$ 。 $x$ も分母へ行く）

1. 単項式・多項式と次数

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(ア)

数や文字のかけ算だけでできた式が単項式、単項式をたし算の形でつないだ式が多項式です。
$3 x - 2 y$ は $3 x + (- 2 y)$ と見るので、項は $3 x$ と $- 2 y$ です（項は符号ごと取り出します）。

単項式と多項式の違いは？

単項式は数や文字の乗法だけでできた式、多項式は単項式の和の形の式

$- 4 ab$ は単項式、 $4 a - b$ は多項式。1 つの数や 1 つの文字も単項式。

単項式の次数とは？

かけ合わされている文字の個数

$- 3 a^{2} b = - 3 \times a \times a \times b$ なので 3 次。係数の 3 は数えない。

多項式の次数とは？

各項の次数のうち、最も大きいもの

$x^{2} y - 4 x y + 5$ は、項の次数が 3、2、0 なので 3 次式。次数の合計ではない。

$3 x - 2 y + 1$ の項をすべて答えよ。

$3 x$ 、 $- 2 y$ 、 $1$

$3 x + (- 2 y) + 1$ と和の形に直してから取り出す。符号も項の一部。

2. 同類項をまとめる・加法と減法

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(ア)

文字の部分がまったく同じ項を同類項といいます。同類項は、分配法則 $ma + na = (m + n) a$ を使って 1 つにまとめられます。
多項式の減法では、ひく式のすべての項の符号を変えて加えます。

同類項とは？

文字の部分が同じ項

$4 x y$ と $- x y$ は同類項。 $2 x^{2}$ と $2 x$ は文字の個数が違うので同類項ではない。

$3 a^{2}$ と $3 a$ はまとめられるか？

まとめられない（同類項ではない）

$a^{2}$ は $a \times a$ 、 $a$ は $a$ 1 個。文字の部分が違う。

多項式をひくとき、かっこをどうはずすか？

ひく式のすべての項の符号を変えてかっこをはずす

$(2 x + 3 y) - (x - y) = 2 x + 3 y - x + y$ 。2 項め以降の符号の変え忘れが多い。

3. 単項式の乗法と除法

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(ア)

単項式どうしの乗法は、係数どうし・文字どうしをそれぞれかけます。
除法は、わる式の逆数をかける乗法に直すか、分数の形にして約分します。

単項式どうしの乗法のしかたは？

係数どうしの積に、文字どうしの積をかける

$3 a \times (- 2 b) = 3 \times (- 2) \times a \times b = - 6 ab$ 。

$(- 3 x)^{2}$ と $- 3 x^{2}$ の違いは？

$(-3x)^2 = (-3x)\times(-3x) = $ $9 x^{2}$ 、 $- 3 x^{2} = - 3 \times x \times x$

指数はすぐ左のものにだけかかる。かっこがあればかっこ全体にかかる。

$6 ab \div \frac{2}{3} a$ を計算するとき、何をかける式に直すか？

$\frac{3}{2 a}$ をかける（ $\frac{2}{3} a = \frac{2 a}{3}$ の逆数）

$\frac{2}{3} a$ の逆数を $\frac{3}{2} a$ としない。文字 $a$ も分母へ行く。答えは $9 b$ 。

乗法と除法が混じった式（ $A \times B \div C$ ）はどう計算するか？

除法を逆数の乗法に直し、1 つの分数にまとめて約分する

左から順に 1 つずつ計算するより、分子・分母に分けたほうが符号と約分を間違えにくい。

4. 式の値

根拠: 学習指導要領中2-A-(1)-ア-(ア)

式の値を求めるときは、式を簡単にしてから代入します。そのまま代入しても答えは同じですが、計算が長くなります。

式の値を求めるとき、代入はいつするか？

式を計算して簡単にしてから代入する

答えは変わらないが、代入する回数が減って計算ミスが減る。

$x = - 2$ のとき、 $x^{2}$ と $- x^{2}$ の値は？

$x^{2} = 4$ 、 $- x^{2} = - 4$

負の数を代入するときはかっこを付ける。 $(- 2)^{2} = 4$ で、 $- x^{2}$ はそれに $-$ を付けたもの。

練習問題

問 1　次の式の項と次数を答えよ。　 $4 x^{2} y - x y + 7 y$

項は $4 x^{2} y$ 、 $- x y$ 、 $7 y$ 。3 次式

方針　項は、式をたし算の形に直して、符号ごと取り出す。次数は、項ごとに「文字が何個かけ合わされているか」を数えて、いちばん大きいものを答える。

たし算の形に直す。 $4 x^{2} y - x y + 7 y = 4 x^{2} y + (- x y) + 7 y$ なので、項は $4 x^{2} y$ 、 $- x y$ 、 $7 y$ 。
$4 x^{2} y = 4 \times x \times x \times y$ で、文字は 3 個。だから 3 次。
$- x y = - 1 \times x \times y$ で、文字は 2 個。だから 2 次。
$7 y = 7 \times y$ で、文字は 1 個。だから 1 次。
各項の次数は 3、2、1。いちばん大きい 3 が多項式の次数なので、3 次式。

ここで間違えやすい　係数の 4 や 7 は数えない。また、各項の次数をたして 6 次としない。

問 2　 $(5 a - 3 b) - (2 a - 4 b)$ を計算せよ。

$3 a + b$

方針　多項式をひくときは、ひく式のかっこの中のすべての項の符号を変えてかっこをはずす。そのあと、文字が同じ項（同類項）どうしをまとめる。

前のかっこは、そのままはずす。 $(5 a - 3 b)$ は $5 a - 3 b$
うしろのかっこは前に $-$ があるので、中の符号を全部変える。 $2 a$ は $- 2 a$ に、 $- 4 b$ は $+ 4 b$ になる。
つなげて書く。 $(5 a - 3 b) - (2 a - 4 b) = 5 a - 3 b - 2 a + 4 b$
同類項がとなりに来るように並べかえる。 $5 a - 2 a - 3 b + 4 b$
$a$ の項は $5 - 2 = 3$ なので $3 a$ 。 $b$ の項は $- 3 + 4 = 1$ なので $b$ 。答えは $3 a + b$

ここで間違えやすい　 $- 4 b$ の符号を変え忘れると、 $5 a - 3 b - 2 a - 4 b$ となって答えが $3 a - 7 b$ になってしまう。符号を変えるのは 1 つめの項だけではない。

問 3　 $3 (2 x - y) - 2 (x - 4 y)$ を計算せよ。

$4 x + 5 y$

方針　かっこの前の数を、かっこの中のすべての項にかけて（分配法則）、かっこをはずす。うしろのかっこは「 $- 2$ をかける」と考えると、符号をまちがえにくい。

前のかっこに 3 をかける。 $3 (2 x - y) = 3 \times 2 x + 3 \times (- y) = 6 x - 3 y$
うしろのかっこに $- 2$ をかける。 $- 2 (x - 4 y) = (- 2) \times x + (- 2) \times (- 4 y) = - 2 x + 8 y$
2 つをつなげる。 $6 x - 3 y - 2 x + 8 y$
同類項がとなりに来るように並べかえる。 $6 x - 2 x - 3 y + 8 y$
$x$ の項は $6 - 2 = 4$ なので $4 x$ 。 $y$ の項は $- 3 + 8 = 5$ なので $5 y$ 。答えは $4 x + 5 y$

ここで間違えやすい　 $(- 2) \times (- 4 y)$ は、負の数どうしのかけ算なので $+ 8 y$ 。ここを $- 8 y$ にすると答えが $4 x - 11 y$ になる。

問 4　 $12 x^{2} y \div (- 4 x y)$ を計算せよ。

$- 3 x$

方針　単項式のわり算は、分数の形に直して約分する。符号、数、文字の順に 1 つずつ決めると、まちがえにくい。

わられる式を分子、わる式を分母にする。 $12 x^{2} y \div (- 4 x y) = \frac{12 x ^{2} y}{- 4 x y}$
符号を決める。正の数を負の数でわるので、答えは負。 $- \frac{12 x ^{2} y}{4 x y}$
数を約分する。 $12 \div 4 = 3$
文字を約分する。分子は $x \times x \times y$ 、分母は $x \times y$ 。 $x$ を 1 個と $y$ を 1 個ずつ消すと、分子に $x$ が 1 個残る。
符号、数、文字を合わせて、 $- 3 x$

問 5　 $8 a^{2} b \div (- 2 a) \times 3 b$ を計算せよ。

$- 12 a b^{2}$

方針　かけ算とわり算が混じった式は、1 つの分数にまとめる。 $\div$ のすぐうしろの式だけが分母、ほかは全部分子に行く。

符号を決める。負の数は $- 2 a$ の 1 個だけなので、答えは負。
分数にまとめる。わる式の $2 a$ が分母、 $8 a^{2} b$ と $3 b$ が分子。 $- \frac{8 a ^{2} b \times 3 b}{2 a}$
数を計算する。分子は $8 \times 3 = 24$ 、これを分母の 2 でわって $24 \div 2 = 12$
文字を約分する。分子は $a \times a \times b \times b$ 、分母は $a$ 。 $a$ を 1 個消すと $a \times b \times b = a b^{2}$ が残る。
符号、数、文字を合わせて、 $- 12 a b^{2}$

ここで間違えやすい　 $3 b$ まで分母に入れない。 $\times 3 b$ はかけ算なので分子に行く。

問 6　 $x = 3$ 、 $y = - 2$ のとき、 $2 (x + 3 y) - (x + 4 y)$ の値を求めよ。

$- 1$

方針　式の値は、先に式を簡単にしてから代入する。代入する回数が減って、計算ミスが減る。負の数はかっこを付けて代入する。

前のかっこに 2 をかける。 $2 (x + 3 y) = 2 x + 6 y$
うしろのかっこは $-$ が付いているので、中の符号を全部変える。 $- (x + 4 y) = - x - 4 y$
つなげて、同類項をまとめる。 $2 x + 6 y - x - 4 y = x + 2 y$
簡単にした式 $x + 2 y$ に $x = 3$ 、 $y = - 2$ を代入する。 $3 + 2 \times (- 2)$
かけ算を先にする。 $2 \times (- 2) = - 4$
たし算をする。 $3 + (- 4) = - 1$

ここで間違えやすい　 $y = - 2$ をかっこなしで入れて $3 + 2 - 2$ としない。 $2 y$ は $2 \times y$ なので、 $2 \times (- 2)$ になる。