漸化式の活用｜高校数学B — みならいノート

学習指導要領数学B (1) 数列ア (ウ)「漸化式について理解し，事象の変化を漸化式で表したり，簡単な漸化式で表された数列の一般項を求めたりすること。」。

0. どういうまとまりか

一般項をいきなり求めにくい事象でも、「 $n$ 回目の状態から $n + 1$ 回目の状態がどう決まるか」なら式にしやすいことがあります。
それを漸化式に書き、一般項を求める型（等差型・等比型・階差型・ $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ ）に当てはめて解きます。
数学Bで一般項まで求めるのは、一次の形の隣接二項間の漸化式です。

事象	漸化式の立て方	型
ローンの残高	利息がついて $(1 + r)$ 倍、返済額 $x$ を引く	$a_{n + 1} = (1 + r) a_{n} - x$
複利の積立	積み立ててから、利息がついて $(1 + r)$ 倍	$S_{n + 1} = (1 + r) (S_{n} + a)$
図形の個数・領域の分割数	1 つ増やしたときに何個増えるか	階差型 $a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$
確率	$n$ 回後の状態で場合分けし、余事象 $1 - p_{n}$ を使う	$p_{n + 1} = a p_{n} + b$

分かれ目は次の 3 つ。

何を $a_{n}$ とおくかを最初に言葉で決める（「 $n$ 回目の操作の後の残高」など）。 $a_{0}$ から始めるか $a_{1}$ から始めるかで指数がずれる
確率は「 $n$ 回後に A にいる」「いない」の 2 通りで場合分けし、いない確率を $1 - p_{n}$ と書いて 1 つの文字にまとめる
図形の問題は、 $n + 1$ 個目を加えたときに増える個数を数える。増え方が $n$ によるなら階差型になる

1. 事象を漸化式で表す

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ウ)

事象の変化を漸化式で表すには、隣り合う回どうしの関係に注目します。

事象を漸化式で表すときの手順は？

①何を $a_{n}$ とおくかを決める ② $a_{n}$ から $a_{n + 1}$ がどう決まるかを式にする ③初項（ $a_{1}$ や $a_{0}$ ）を求める

あとは一般項を求める型に当てはめる。初めの数項を実際に数えて、漸化式と合っているかを確かめるとよい。

円盤 $n$ 枚のハノイの塔を移すのに必要な最少の移動回数を $a_{n}$ とする。漸化式と一般項は？

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ 。一般項 $a_{n} = 2^{n} - 1$

上の $n$ 枚を別の棒へ移し（ $a_{n}$ 回）、一番下の 1 枚を移し（1 回）、 $n$ 枚を上に戻す（ $a_{n}$ 回）。 $a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)$ から $a_{n} + 1 = 2^{n}$ 。

2. 図形の個数・領域の分割

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ウ)

1 つ増やしたときに増える個数が $n$ によって変わるので、階差型の漸化式になります。

どの 2 本も平行でなく、どの 3 本も 1 点で交わらない $n$ 本の直線が、平面を $a_{n}$ 個の部分に分ける。漸化式と一般項は？

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = a_{n} + (n + 1)$ 。一般項 $a_{n} = \frac{n ^{2} + n + 2}{2}$

$n + 1$ 本目の直線は、それまでの $n$ 本と $n$ 個の点で交わり、 $n + 1$ 個の部分に分けられる。その 1 つ 1 つが領域を 2 つに分けるので、 $n + 1$ 個増える。

どの 2 つも 2 点で交わり、どの 3 つも 1 点で交わらない $n$ 個の円が、平面を $a_{n}$ 個の部分に分ける。漸化式と一般項は？

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ 。一般項 $a_{n} = n^{2} - n + 2$

$n + 1$ 個目の円は、それまでの $n$ 個の円と $2 n$ 個の点で交わり、 $2 n$ 本の弧に分けられる。弧 1 本ごとに領域が 1 つ増える。

3. ローンの残高と複利の積立

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ウ)

お金の問題は、利息がつく（ $(1 + r)$ 倍）のと、払う・積み立てる（ $x$ を引く・ $a$ を足す）のと、どちらが先かで式が変わります。

$A$ 円を月利 $r$ で借り、1 か月ごとに利息がついた後で $x$ 円ずつ返す。 $n$ か月後の残高を $a_{n}$ （ $a_{0} = A$ ）とするときの漸化式は？

$a_{n + 1} = (1 + r) a_{n} - x$

利息がついて $(1 + r) a_{n}$ になり、そこから返済額 $x$ を引く。一次の形の隣接二項間の漸化式なので、 $α = (1 + r) α - x$ から $α = \frac{x}{r}$ を引いて解く。

上のローンの残高 $a_{n}$ （ $a_{0} = A$ ）の一般項は？

$a_{n} = \frac{x}{r} + (A - \frac{x}{r}) (1 + r)^{n}$

$a_{n} - \frac{x}{r}$ は初項 $A - \frac{x}{r}$ 、公比 $1 + r$ の等比数列。 $a_{0}$ を初項にしたので、指数は $n - 1$ ではなく $n$ になる。

毎年初めに $a$ 円を積み立て、年利 $r$ の複利で増やす。 $n$ 年末の元利合計を $S_{n}$ （ $S_{0} = 0$ ）とするときの漸化式は？

$S_{n + 1} = (1 + r) (S_{n} + a)$

年の初めに $a$ 円を加えてから、1 年分の利息がついて $(1 + r)$ 倍になる。展開すると $S_{n + 1} = (1 + r) S_{n} + (1 + r) a$ で、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形。

4. 確率の漸化式

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ウ)

$n$ 回後の確率から $n + 1$ 回後の確率を求める式を作ります。 $n$ 回後の状態で場合分けし、余事象を使うと $p_{n + 1} = a p_{n} + b$ の形になります。

確率 $p_{n}$ の漸化式を立てるときの考え方は？

$n$ 回後に「その状態にある（確率 $p_{n}$ ）」「ない（確率 $1 - p_{n}$ ）」で場合分けし、それぞれから $n + 1$ 回目にその状態になる確率を掛けて足す

余事象を $1 - p_{n}$ と書くことで文字が $p_{n}$ だけになり、 $p_{n + 1} = a p_{n} + b$ の形の漸化式になる。

部屋 A、B があり、1 回ごとに確率 $\frac{1}{3}$ で他方の部屋へ移り、確率 $\frac{2}{3}$ でとどまる。最初 A にいるとき、 $n$ 回後に A にいる確率 $p_{n}$ の漸化式と一般項は？

$p_{n + 1} = \frac{1}{3} p_{n} + \frac{1}{3}$ 。一般項 $p_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n}$

$p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{3} (1 - p_{n})$ 。 $α = \frac{1}{2}$ を引くと、 $p_{n} - \frac{1}{2}$ は $p_{0} = 1$ から始まる公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列。

数学Bで一般項を求める「簡単な漸化式」とはどこまでか？

一次の形の隣接二項間の漸化式（ $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ と、等差型・等比型・階差型）

$a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}$ の形、隣接三項間、分数の形などは、これらの型に直す工夫が要る。

【発展】 $a_{n + 1} = p a_{n} + q^{n}$ の形

例えば $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ は、両辺を $3^{n + 1}$ で割って $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ とおくと $b_{n + 1} = \frac{2}{3} b_{n} + \frac{1}{3}$ になり、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形に帰着する。
$b_{1} = \frac{1}{3}$ 、 $α = 1$ から $b_{n} - 1 = - (\frac{2}{3})^{n}$ 。よって $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ 。

【発展】隣接三項間の漸化式

例えば $a_{1} = 1$ 、 $a_{2} = 5$ 、 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ は、 $x^{2} = 5 x - 6$ の解 2、3 を使って
$a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 3 (a_{n + 1} - 2 a_{n})$ 、 $a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - 3 a_{n})$ と 2 通りに変形する。
$a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3^{n}$ 、 $a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2^{n}$ となり、辺々引いて $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ 。

【発展】分数の形の漸化式

例えば $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ は、すべての項が正なので逆数をとれて $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + 2$ となる。
$b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ は初項 1、公差 2 の等差数列で $b_{n} = 2 n - 1$ 。よって $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ 。

練習問題

根拠: 学習指導要領数学B-(1)-ア-(ウ)

問 1　どの 2 本も平行でなく、どの 3 本も 1 点で交わらない $n$ 本の直線がある。交点の個数を $b_{n}$ とするとき、 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表し、 $b_{n}$ を求めよ。

$b_{n + 1} = b_{n} + n$ 、 $b_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

方針　交点の個数をいきなり $n$ の式で書くのは難しいので、「直線を 1 本増やすと交点が何個増えるか」を考えて漸化式にする。増える個数が $n$ によって変わるので、階差型になる。

$n$ 本の直線があるところに $n + 1$ 本目を引く。どの 2 本も平行でないので、新しい直線はそれまでの $n$ 本すべてと 1 点ずつ交わる。
どの 3 本も 1 点で交わらないので、その $n$ 個の交点はどれも新しい点。よって $b_{n + 1} = b_{n} + n$
直線が 1 本のとき交点は無いので、 $b_{1} = 0$
階差数列の第 $k$ 項が $k$ なので、 $n ≧ 2$ のとき $b_{n} = 0 + \sum_{k = 1}^{n - 1} k = \frac{( n - 1 ) n}{2}$
$n = 1$ を代入すると $\frac{0 \times 1}{2} = 0$ になり、 $b_{1}$ と一致する。よって $n = 1$ でも成り立つ。
確かめ: 3 本の直線は三角形を作るので、交点は 3 個。式でも $\frac{3 \times 2}{2} = 3$ で合っている。

ここで間違えやすい　増える個数を $n + 1$ としてしまうこと。 $n + 1$ 本目が交わる相手は、それまでの $n$ 本。

問 2　ある薬を毎日 1 回 100 mg 飲む。体内の薬の量は 1 日たつと半分になる。 $n$ 回目を飲んだ直後の体内の量を $a_{n}$ mg とするとき、 $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ で表し、 $a_{n}$ を求めよ。

$a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 100$ 、 $a_{n} = 200 - 100 (\frac{1}{2})^{n - 1}$

方針　「 $n$ 回目を飲んだ直後」から「 $n + 1$ 回目を飲んだ直後」までに何が起こるかを、順に式にする。できた漸化式は $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形なので、 $α$ を引いて等比数列に直す。

$n$ 回目を飲んだ直後の量は $a_{n}$ 。1 日たつと半分の $\frac{1}{2} a_{n}$ になり、そこへ 100 mg を飲むので、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 100$
1 回目を飲んだ直後は、飲んだ 100 mg だけなので、 $a_{1} = 100$
$α = \frac{1}{2} α + 100$ を解く。 $\frac{1}{2} α = 100$ なので、 $α = 200$
漸化式の両辺から 200 を引くと、 $a_{n + 1} - 200 = \frac{1}{2} a_{n} - 100$ 。右辺を $\frac{1}{2}$ でくくると、 $a_{n + 1} - 200 = \frac{1}{2} (a_{n} - 200)$
数列 ${a_{n} - 200}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列。初項は $a_{1} - 200$ で、 $100 - 200 = - 100$
よって $a_{n} - 200 = - 100 (\frac{1}{2})^{n - 1}$ 。200 を移項して、 $a_{n} = 200 - 100 (\frac{1}{2})^{n - 1}$
確かめ: 2 回目を飲んだ直後は、残っていた 50 mg と飲んだ 100 mg で $50 + 100 = 150$ 。式に $n = 2$ を入れても $200 - 100 \times \frac{1}{2} = 150$ で合っている。
引いている $100 (\frac{1}{2})^{n - 1}$ はいつも正なので、飲み続けても、体内の量は 200 mg を超えない。

ここで間違えやすい　 $a_{1}$ を 0 や 50 としてしまうこと。 $a_{n}$ は「飲んだ直後」の量と決めたので、 $a_{1} = 100$ 。

問 3　表を上にして置いた硬貨がある。さいころを投げて 1 の目が出たら硬貨を裏返し、それ以外なら何もしない。さいころを $n$ 回投げた後に表が上である確率 $p_{n}$ を求めよ。

$p_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n}$

方針　 $n$ 回後の確率を直接数えるのは難しいので、「 $n$ 回後に表か裏か」で場合分けして、 $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ で表す。裏である確率は余事象で $1 - p_{n}$ と書けるので、文字は $p_{n}$ だけになる。

$n + 1$ 回後に表になるのは 2 通り。1 つは、 $n$ 回後に表（確率 $p_{n}$ ）で、1 以外の目が出て表のまま（確率 $\frac{5}{6}$ ）。もう 1 つは、 $n$ 回後に裏（確率 $1 - p_{n}$ ）で、1 の目が出て表になる（確率 $\frac{1}{6}$ ）。
式にすると、 $p_{n + 1} = \frac{5}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n})$
右辺を整理する。 $p_{n}$ の係数は $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ なので、 $p_{n + 1} = \frac{2}{3} p_{n} + \frac{1}{6}$
$α = \frac{2}{3} α + \frac{1}{6}$ を解く。 $\frac{1}{3} α = \frac{1}{6}$ なので、 $α = \frac{1}{2}$
漸化式の両辺から $\frac{1}{2}$ を引くと、 $p_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} p_{n} - \frac{1}{3}$ 。右辺を $\frac{2}{3}$ でくくると、 $p_{n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} (p_{n} - \frac{1}{2})$
数列 ${p_{n} - \frac{1}{2}}$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列。最初は表なので $p_{0} = 1$ で、 $p_{0} - \frac{1}{2}$ は $\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$ から始めて $\frac{2}{3}$ を $n$ 回掛けるので、 $p_{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n}$
$\frac{1}{2}$ を移項して、 $p_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{n}$
確かめ: $p_{1} = \frac{5}{6}$ で、式に $n = 1$ を代入しても $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ 。

ここで間違えやすい　指数を $n - 1$ にしてしまうこと。 $p_{0}$ から数えはじめたので、公比を掛ける回数は $n$ 回。

問 4　 $A$ 円を月利 $r$ （ $r > 0$ ）で借り、1 か月ごとに利息がついた後で $x$ 円ずつ返す。 $n$ か月後の残高 $a_{n}$ （ $a_{0} = A$ ）を求めよ。また、残高が増え続けないための $x$ の条件を求めよ。

$a_{n} = \frac{x}{r} + (A - \frac{x}{r}) (1 + r)^{n}$ 。条件は $x ≧ r A$

方針　1 か月の間に「利息がつく」「返す」がこの順に起こることを式にすると、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形の漸化式になる。一般項を出せば、残高が増えるかどうかは $(1 + r)^{n}$ の係数の符号で決まる。

$n$ か月後の残高 $a_{n}$ に利息がついて $(1 + r) a_{n}$ になり、そこから $x$ 円を返すので、 $a_{n + 1} = (1 + r) a_{n} - x$
$α = (1 + r) α - x$ を解く。右辺を展開すると $α = α + r α - x$ で、 $r α = x$ なので、 $α = \frac{x}{r}$
漸化式から $α = (1 + r) α - x$ を辺々引くと、 $x$ が消えて $a_{n + 1} - α = (1 + r) (a_{n} - α)$ 。つまり $a_{n + 1} - \frac{x}{r} = (1 + r) (a_{n} - \frac{x}{r})$
数列 ${a_{n} - \frac{x}{r}}$ は公比 $1 + r$ の等比数列。 $a_{0} = A$ から始めるので、初項は $A - \frac{x}{r}$
初項に $1 + r$ を $n$ 回掛けるので、 $a_{n} - \frac{x}{r} = (A - \frac{x}{r}) (1 + r)^{n}$
$\frac{x}{r}$ を移項して、 $a_{n} = \frac{x}{r} + (A - \frac{x}{r}) (1 + r)^{n}$
$r > 0$ から $1 + r > 1$ なので、 $(1 + r)^{n}$ は $n$ とともに大きくなる。だから、その係数 $A - \frac{x}{r}$ が正のとき、残高は増え続ける。
増え続けないのは $A - \frac{x}{r} ≦ 0$ のとき。移項して $\frac{x}{r} ≧ A$ 、両辺に正の数 $r$ を掛けて、 $x ≧ r A$
$r A$ は最初の 1 か月分の利息。 $x = r A$ なら利息の分だけを返すことになり残高は $A$ のまま、 $x > r A$ なら減っていく（返し終えられるのはこのとき）。

ここで間違えやすい　指数を $n - 1$ にしてしまうこと。 $a_{0}$ を初項にしたので、指数は $n$ 。

問 5　毎年初めに $a$ 円を積み立て、年利 $r$ （ $r > 0$ ）の複利で増やす。 $n$ 年末の元利合計 $S_{n}$ （ $S_{0} = 0$ ）を求めよ。

$S_{n} = \frac{( 1 + r ) a {( 1 + r ) ^{n} - 1 }}{r}$

方針　1 年の間に「積み立てる」「利息がつく」がこの順に起こることを漸化式にする。展開すると $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形になるので、 $α$ を引いて等比数列に直す。

$n$ 年末の元利合計 $S_{n}$ に、次の年の初めに $a$ 円を加えて $S_{n} + a$ 。これに 1 年分の利息がつくので、 $S_{n + 1} = (1 + r) (S_{n} + a)$
展開すると、 $S_{n + 1} = (1 + r) S_{n} + (1 + r) a$
$α = (1 + r) α + (1 + r) a$ を解く。右辺を展開すると $α = α + r α + (1 + r) a$ で、 $r α = - (1 + r) a$ なので、 $α = - \frac{( 1 + r ) a}{r}$
漸化式から $α = (1 + r) α + (1 + r) a$ を辺々引くと、 $S_{n + 1} - α = (1 + r) (S_{n} - α)$
数列 ${S_{n} - α}$ は公比 $1 + r$ の等比数列。 $S_{0} = 0$ から始めるので、初項は $0 - α = \frac{( 1 + r ) a}{r}$
初項に $1 + r$ を $n$ 回掛けるので、 $S_{n} - α = \frac{( 1 + r ) a}{r} (1 + r)^{n}$
$α$ を移項すると、 $S_{n} = \frac{( 1 + r ) a}{r} (1 + r)^{n} - \frac{( 1 + r ) a}{r}$
$\frac{( 1 + r ) a}{r}$ でくくって、 $S_{n} = \frac{( 1 + r ) a {( 1 + r ) ^{n} - 1 }}{r}$
確かめ: $n = 1$ のとき、式の中かっこは $(1 + r) - 1 = r$ なので $S_{1} = (1 + r) a$ 。1 年目の初めに積み立てた $a$ 円に利息が 1 回ついた額で、合っている。

ここで間違えやすい　漸化式を $S_{n + 1} = (1 + r) S_{n} + a$ としてしまうこと。積み立ててから利息がつくので、その年に入れた $a$ 円にも $1 + r$ が掛かる。